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Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/I

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Einleitung Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen ~ I. Kinematischer Teil.
written by Albert Einstein 1907 		II. Elektrodynamischer Teil.


Contents

I. Kinematischer Teil.

§ 1. Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Definition der Zeit. Relativitätsprinzip.

Um irgendeinen physikalischen Vorgang beschreiben zu können, müssen wir imstande sein, die in den einzelnen Punkten des Raumes stattfindenden Veränderungen örtlich und zeitlich zu werten.

Zur örtlichen Wertung eines in einem Raumelement stattfindenden Vorganges von unendlich kurzer Dauer (Punktereignis) bedürfen wir eines Cartesischen Koordinatensystems, d. h. dreier aufeinander senkrecht stehender, starr miteinander verbundener, starrer Stäbe, sowie eines starren Einheitsmaßstabes.[1] Die Geometrie gestattet, die Lage eines Punktes bezw. den Ort eines Punktereignisses durch drei Maßzahlen (Koordinaten x, y, x) zu bestimmen.[2] Für die zeitliche Wertung eines Punktereignisses bedienen wir uns einer Uhr, die relativ zum Koordinatensystem ruht und in deren unmittelbarer Nähe das Punktereignis stattfindet. Die Zeit des Punktereignisses ist definiert durch die gleichzeitige Angabe der Uhr.

Wir denken uns in vielen Punkten relativ zum Koordinatensystem ruhende Uhren angeordnet. Dieselben seien sämtlich gleichwertig, d. h. die Differenz der Angaben zweier solcher Uhren soll ungeändert bleiben, falls sie nebeneinander angeordnet werden. Denkt man sich diese Uhren irgendwie eingestellt, so erlaubt die Gesamtheit der Uhren, falls letztere in genügend kleinen Abständen angeordnet sind, ein beliebiges Punktereignis — etwa mittels der nächstgelegenen Uhr — zeitlich zu werten.

Der Inbegriff dieser Uhrangaben liefert uns aber gleichwohl noch keine „Zeit“, wie wir sie für physikalische Zwecke nötig haben. Wir bedürfen vielmehr hierzu noch einer Vorschrift, nach welcher diese Uhren relativ zueinander eingestellt werden sollen.

Wir nehmen nun an, die Uhren können so gerichtet werden, daß die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines jeden Lichtstrahles im Vakuum — mit Hilfe dieser Uhren gemessen — allenthalben gleich einer universellen Konstante c wird, vorausgesetzt, daß das Koordinatensystem nicht beschleunigt ist. Sind A und B zwei relativ zum Koordinatensystem ruhende, mit Uhren ausgestattete Punkte, deren Entfernung r beträgt, und ist tA die Angabe [416] der Uhr in A, wenn ein durch das Vakuum in der Richtung AB sich fortpflanzender Lichtstrahl den Punkt A erreicht, tB die Angabe der Uhr in B beim Eintreffen des Lichtstrahles in B, so soll also, wie auch die den Lichtstrahl emittierende Lichtquelle, sowie andere Körper bewegt sein mögen, stets

\frac{r}{t_{B}-t_{A}}=c

sein.

Daß die hier gemachte Annahme, welche wir Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nennen wollen, in der Natur wirklich erfüllt sei, ist keineswegs selbstverständlich, doch wird dies — wenigstens für ein Koordinatensystem von bestimmtem Bewegungszustande — wahrscheinlich gemacht durch die Bestätigungen, welche die, auf die Voraussetzung eines absolut ruhenden Äthers gegründete Lorentzsche Theorie[3] durch das Experiment erfahren hat.[4]

Den Inbegriff der Angaben aller gemäß dem vorhergehenden gerichteter Uhren, welche man sich in den einzelnen Raumpunkten relativ zum Koordinatensystem ruhend angeordnet denken kann, nennen wir die zu dem benutzten Koordinatensystem gehörige Zeit oder kurz die Zeit dieses Systems.

Das benutzte Koordinatensystem samt Einheitsmaßstab und den zur Ermittlung der Zeit des Systems dienenden Uhren, nennen wir „Bezugssystem S“. Wir denken uns die Naturgesetze in bezug auf das Bezugssystem S ermittelt, welches etwa zunächst relativ zur Sonne ruhe. Hierauf werde das Bezugssystem S durch irgendeine äußere Ursache eine Zeitlang beschleunigt und gelange schließlich wieder in einen beschleunigungsfreien Zustand. Wie werden die Naturgesetze ausfallen, wenn man die Vorgänge auf das nunmehr in einem anderen Bewegungszustande befindliche Bezugssystem S bezieht?

In bezug hierauf machen wir nun die denkbar einfachste und durch das Experiment von Michelson und Morley nahe gelegte Annahme: Die Naturgesetze sind unabhängig vom Bewegungszustande des Bezugssystems, wenigstens falls letzterer ein beschleunigungsfreier ist.

Auf diese Annahme, welche wir „Relativitätsprinzip“ nennen, [417] sowie auf, das oben angegebene Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit werden wir uns im folgenden stützen.

§ 2. Allgemeine Bemerkungen, Raum und Zeit betreffend.

1. Wir betrachten eine Anzahl beschleunigungsfrei und gleich bgwegter (d. h. relativ zueinander ruhender) starrer Körper. Nach dem Relativitätsprinzip schließen wir, daß die Gesetze, nach denen Sich diese Körper relativ zueinander räumlich gruppieren lassen, bei Änderung des gemeinsamen Bewegungszustandes dieser Körper sich nicht ändern. Daraus folgt, daß die Gesetze der Geometrie die Lagerungsmöglichkeiten starrer Körper stets in der gleichen Weise bestimmen, unabhängig von deren gemeinsamem Bewegungszustande. Aussagen über die Gestalt eines beschleunigungsfrei bewegten Körpers haben daher unmittelbar einen Sinn. Wir wellen die Gestalt eines Körpers im dargelegten Sinn, die „Geometrische Gestalt“ desselben nennen. Letztere ist offenbar nicht vom Bewegungszustande eines Bezugssystems abhängig.

2. Eine Zeitangabe hat gemäß der in § 1 gegebenen Definition der Zeit nur mit Bezug auf ein Bezugssystem von bestimmtem Bewegungszustande einen Sinn. Es ist daher zu vermuten (und wird sich im folgenden zeigen), daß zwei räumlich distante Punktereignisse, welche in bezug auf ein Beuzugssystem S gleichzeitig sind, in bezug auf ein Bezugssystem S' von anderem Bewegungszustande im allgemeinen nicht gleichzeitig sind.

3. Ein aus den materiellen Punkten P bestehender Körper bewege sich irgendwie relativ zu einem Bezugssystem S. Zur Zeit t von S besitzt jeder materielle Punkt P eine bestimmte Lage in S, d. h. er koinzidiert mit einem bestimmten, relativ zu S ruhendem Punkte Π. Den Inbegriff der Lagen der Punkte Π relativ zum Koordinatensystem von S nennen wir die Lage, den Inbegriff der Lagenbeziehungen der Punkte Π untereinander die kinematische Gestalt des Körpers in bezug auf S für die Zeit t. Ruht der Körper relativ zu S, so ist seine kinematische Gestalt in bezug auf S mit seiner geometrischen Gestalt identisch.

Es ist klar, daß relativ zu einem Bezugssystem S ruhende Beobachter nur die auf S bezogene kinematische Gestalt eines relativ zu S bewegten Körpers zu ermitteln vermögen, nicht aber dessen geometrische Gestalt.

Im folgenden werden wir gewöhnlich nicht explizite zwischen [418] geometrischer und kinematischer Gestalt unterscheiden; eine Aussage geometrischen Inhaltes betrifft die kinematische bezw. geometrische Gestalt, je nachdem dieselbe auf ein Bezugssystem S bezogen ist oder nicht.

§ 3. Koordinaten-Zeit-Transformation.

S und S' seien gleichwertige Bezugssysteme, d. h. diese Systeme mögen gleichlange Einheitsmaßstäbe und gleichlaufende Uhren besitzen, falls diese Gegenstände im Zustande relativer Ruhe miteinander verglichen werden. Es ist dann einleuchtend, daß jedes Naturgesetz, das in bezug auf S gilt, in genau gleicher Form auch in bezug auf S, gilt, falls S und S' relativ zueinander ruhen. Das Relativitätsprinzip verlangt jene vollkommene Übereinstimmung auch für den Fall, daß S' relativ zu S in gleichförmiger Translationsbewegung begriffen ist. Im speziellen muß sich also für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in bezug auf beide Bezugssysteme dieselbe Zahl ergeben.

Ein Punktereignis sei relativ zu S durch die Variabeln x, y, z, t, relativ zu S' durch die Variabeln x', y', z', t', bestimmt, wobei S und S' beschleunigungsfrei und relativ zueinander bewegt seien. Wir fragen nach den Gleichungen, welche zwischen den erstgenannten und den letztgenannten Variabeln bestehen.

Von diesen Gleichungen können wir sofort aussagen, daß sie in bezug auf die genannten Variabeln linear sein müssen, weil die Homogenitätseigenschaften des Raumes und der Zeit dies erfordern. Daraus folgt im speziellen, daß die Koordinatenebenen von S' — auf das Bezugssystem S bezogen — gleichförmig bewegte Ebenen sind; doch werden diese Ebenen im allgemeinen nicht aufeinander senkrecht stehen. Wählen wir jedoch die Lage der x'-Achse so, daß letztere — auf S bezogen — die gleiche Richtung hat, wie die auf S bezogene Translationsbewegung von S', so folgt aus Symmetriegründen, daß die auf S bezogenen Koordinatenebenen von S' aufeinander senkrecht stehen müssen. Wir können und wollen die Lagen der beiden Koordinatensysteme im speziellen so wählen, daß die x-Achse von S und die x-Achse von S' dauernd zusammenfallen und daß die auf S bezogene y'-Achse von S' parallel der y-Achse von S ist. Ferner wollen wir als Anfangspunkt der Zeit in beiden Systemen den Augenblick wählen, in welchem die Koordinatenanfangspunkte koinzidieren; dann sind die gesuchten linearen Transformationsgleichungen homogen.

Aus der nun bekannten Lage der Koordinatenebenen von S' relativ [419] zu S schließen wir unmittelbar, daß je zwei der folgenden Gleichungen gleichbedeutend sind:

x' = 0
y' = 0
z' = 0		 und
und
und		x - vt = 0
y = 0
z = 0

Drei der gesuchten Transformationsgleichungen sind also von der Form:

x' = a(x-vt)
y' = by
z' = cz.

Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im leeren Raume in bezug auf beide Bezugssysteme gleich c ist, so müssen die beiden Gleichungen:

x² + y² + z² = c²t²

und

x'² + y'² + z'² = c²t'²

gleichbedeutend sein. Hieraus und aus den soeben für x', y',z' gefundenen Ausdrücken schließt man nach einfacher Rechnung, daß die gesuchten Transformationsgleichungen von der Form sein müssen:

t'=\varphi(v)\cdot\beta\cdot\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right)

x'=\varphi(v)\cdot\beta\cdot(x-vt)

y'=\varphi(v)\cdot y

z'=\varphi(v)\cdot z

Dabei ist

\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

gesetzt.

Die noch unbestimmt gebliebene Funktion von v wollen wir nun bestimmen. Führen wir ein drittes mit S und S' gleichwertiges Bezugssystem S" ein, welches relativ zu S' mit der Geschwindigkeit — v bewegt und ebenso relativ zu S' orientiert ist, wie S' relativ zu S, so erhalten wir durch zweimalige Anwendung der eben erlangten Gleichungen

t" = φ(v) · φ(-v) · t
x" = φ(v) · φ(-v) · x
y" = φ(v) · φ(-v) · y
z" = φ(v) · φ(-v) · z

Da die Koordinatenanfangspunkte von S und S" dauernd zusammenfallen, [420] die Achsen gleich orientiert und die Systeme „gleichwertige“ sind, so ist diese Substitution die identische[5], so daß

φ(v) · φ(-v) = 1.

Da ferner die Beziehung zwischen y und y' vom Vorzeichen von v nicht abhängen kann, ist,

φ(v) = φ(-v)

Es ist also[6] φ(v) = 1, und die Transformationsgleichungen lauten

\left.\begin{matrix} t'= & \beta\left(1-\frac{v}{c^{2}}x\right)\\ \\x'= & \beta(x-vt)\\ \\y'= & y\\ \\z'= & z\end{matrix}\right\} (1)

wobei

\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Löst man die Gleichungen (1) nach x, y, t, t auf, so erhält man die nämlichen Gleichungen, nur daß die „gestrichenen“ durch die gleichnamigen „ungestrichenen“ Größen und umgekehrt ersetzt sind, und v durch -v ersetzt ist. Es folgt dies auch unmittelbar aus dem Relativitätsprinzip und aus der Erwägung, daß S relativ zu S, eine Paralleltranslation in Richtung der X'-Achse mit der Geschwindigkeit -v ausführt.

Allgemein erhält man gemäß dem Relativitatsprinzip aus jeder richtigen Beziehung zwischen „gestrichenen“ (mit Bezug auf S' definierten) und „ungestrichenen“ (mit Bezug auf S definierten) Größen oder zwischen Größen nur einer dieser Gattungen wieder eine richtige Beziehung, wenn man die ungestrichenen durch die entsprechenden gestrichenen Zeichen und umgekehrt sowie v durch -v ersetzt.

§ 4. Folgerungen aus den Transformationsgleichungen,
starre Körper und Uhren betreffend.

1. Relativ zu S' ruhe ein Körper. x1', y1', z1' und x2', y2', z2' seien die auf S' bezogenen Koordinaten zweier materieller Punkte desselben. Zwischen den Koordinaten x1, y1, z1 und x2, y2, z2 dieser Punkte in [421] bezug auf das Bezugssystem S bestehen zu jeder Zeit t von S nach den soeben abgeleiteten Transformationsgleichungen die Beziehungen

\left.\begin{matrix} x_{2}-x_{1}= & \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\left(x'_{2}-x'_{1}\right)\\ \\y_{2}-y_{1}= & y'_{2}-y'_{1},\\ \\z_{2}-z_{1}= & z'_{2}-z'_{1}\end{matrix}\right\} (2)

Die kinematische Gestalt eines in gleichförmiger Translationsbewegung begriffenen_ Körpers hängt also ab von dessen Geschwindigkeit relativ zum Bezugssystem, und zwar unterscheidet sich die kinematische Gestalt des Körpers von seiner geometrischen Gestalt lediglich durch eine Verkürzung in Richtung der Relativbewegung im Verhältnis 1:\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}. Eine Relativbewegung von Bezugssystemen mit Überlichtgeschwindigkeit ist mit unseren Prinzipien nicht vereinbar.

2. Im Koordinatenanfangspunkt von S' sei eine Uhr ruhend angeordnet, welche ν0 schneller laufe als die zur Zeitmessung in den Systemen S und S' benutzten Uhren, d. h. diese Uhr führe ν0-Perioden aus in einer Zeit, in welcher die Angabe einer relativ zu ihr ruhenden Uhr von der Art der in S und S' zur Zeitmessung be nutzten Uhren um eine Einheit zunimmt. Wie schnell geht die erstgenannte Uhr vom System S aus betrachtet?

Die betrachtete Uhr beendet jeweilen eine Periode in den Zeitepochen t'_{n}=\frac{n}{\nu_{0}}, wobei n die ganzen Zahlen durchläuft, und für die Uhr dauernd x' = 0 ist. Hieraus erhält man mit Hilfe der beiden ersten Transformationsgleichungen für die Zeitepochen tn, in denen die Uhr, von S aus betrachtet, jeweilen eine Periode beendet

t_{n}=\beta t'_{n}=\frac{\beta}{\nu_{0}}n.

Vom System S aus betrachtet führt die Uhr also, pro Zeiteinheit, \nu=\frac{\nu_{0}}{\beta}=\nu_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} Perioden aus; oder: eine relativ zu einem Bezugssystem mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegte Uhr geht von diesem Bezugssystem aus beurteilt im Verhältnis 1:\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} langsamer als die nämliche Uhr, falls sie relativ zu jenem Bezugssystem ruht.

Die Formel \nu=\nu_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} gestattet eine sehr interessante [422] Anwendung. Herr J. Stark hat im vorigen Jahre gezeigt[7], daß die die Kanalstrahlen bildenden Ionen Linienspektra emittieren, indem er eine als Dopplereffekt zu deutende Verschiebung von Spektrallinien beobachtete.

Da der einer Spektrallinie entsprechende Schwingungsvorgang wohl als ein intraatomischer Vorgang zu betrachten ist, dessen Frequenz durch das Ion allein bestimmt ist, so können wir ein solches Ion als eine Uhr von bestimmter Frequenzzahl ν0 ansehen, welch letztere man z. B. erhält, wenn man das von gleich beschaffenen, relativ zum Beobachter ruhenden Ionen ausgesandte Licht untersucht. Die obige Betrachtung zeigt nun, daß der Einfluß der Bewegung auf die von dem Beobachter zu ermittelnde Lichtfrequenz durch den Dopplereffekt noch nicht vollständig gegeben ist. Die Bewegung verringert vielmehr außerdem die (scheinbare) Eigenfrequenz der emittierenden Ionen gemäß obiger Beziehung.[8]

§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

Relativ zum System S' bewege sich ein Punkt gleichförmig gemäß den Gleichungen

x' = u'xt'
y' = u'yt'
z' = u'zt'

Ersetzt man x', y', z', t' durch ihre Ausdrücke in x, y, x, t vermittels der Transformationsgleichungen (1), so erhält man x, y, z in Funktion von t, also auch die Geschwindigkeitskomponenten wx, wy, wz des Punktes in bezug auf S. Es ergibt sich so

\left.\begin{matrix} u_{x}= & \frac{u'_{x}+v}{1+\frac{vu'_{x}}{c^{2}}}\\ \\u_{y}= & \frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{vu'_{x}}{c^{2}}}u'_{y}\\ \\u_{z}= & \frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{vn'_{x}}{c^{2}}}u'_{x}\end{matrix}\right\} (3)

[423] Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nur in erster Annäherung. Setzen wir

u² = ux² + uy² + uz²
u'² = u'x² + u'y² + u'z²

und bezeichnen wir mit α den Winkel zwischen der x'-Achse (v) und der Bewegungsrichtung des Punktes in bezug auf S' (w'), so ist

u=\frac{\sqrt{\left(v^{2}+u'^{2}+2vu'\ \cos\alpha\right)-\left(\frac{vu'\sin\alpha}{c^{2}}\right)^{2}}}{1+\frac{vu'\cos\alpha}{c^{2}}}

Sind beide Geschwindigkeiten (v und u') gleichgerichtet, so hat man:

u=\frac{v+u'}{1+\frac{vu'}{c^{2}}}.

Aus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner Sind als c, stets eine Geschwindigkeit resultiert, die kleiner als c ist. Setzt man nämlich v = c - k, u' = c - λ, wobei k und λ positiv und kleiner als c seien, so ist:

u=c\frac{2c-k-\lambda}{2c-k-\lambda+\frac{k\lambda}{c}}<c

Es folgt ferner, daß die Zusammensetzung der Lichtgeschwindigkeit c und einer „Unterlichtgeschwindigkeit“ wieder die Lichtgeschwindigkeit c ergibt.

Aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten ergibt sich ferner noch die interessante Folgerung, daß es keine Wirkung geben kann, welche zur willkürlichen Signalgebung verwendet werden kann, und die sich schneller fortpflanzt als das Licht im Vakuum. Es erstrecke sich nämlich längs der x-Achse von S ein Materialstreifen, relativ zu welchem sich eine gewisse Wirkung (vom Materialstreifen aus beurteilt) mit der Geschwindigkeit W fortzupflanzen vermöge, und es befinde sich sowohl im Punkte x = 0 (Punkt A) als auch im Punkte x = λ. (Punkt B) der x-Achse ein relativ zu S ruhender Beobachter. Der Beobachter in A sende vermittels der oben genannten Wirkung Zeichen zu dem Beobachter in B durch den Materialstreifen, welch letzterer nicht ruhe, sondern mit der Geschwindigkeit v(< c) sich in der negativen x-Richtung bewege. Das Zeichen wird dann, wie aus der ersten der Gleichungen (3) hervorgeht, mit der Geschwindigkeit [424] \frac{W-v}{1-\frac{Wv}{c^{2}}} von A nach B übertragen. Die hierzu nötige Zeit T ist also

T=l\frac{1-\frac{Wv}{c^{2}}}{W-v}

Die Geschwindigkeit v kann jeglichen Wert unter c annehmen. Wenn also W > c ist, wie wir angenommen haben, so kann man v stets so wählen, daß T < 0. Dies Resultat besagt, daß wir einen Übertragungsmechanismus für möglich halten müßten, bei dessen Benutzung die erzielte Wirkung der Ursache vorangeht. Wenn dies Resultat auch, meiner Ansicht nach, rein logisch genommen, keinen Widerspruch enthält, so widerstreitet es doch derart dem Charakter unserer gesamten Erfahrung, daß durch dasselbe die Unmöglichkeit der Annahme W > c zur Genüge erwiesen erscheint.

§ 6. Anwendungen der Transformationsgleichungen auf einige Probleme der Optik.

Der Lichtvektor einer im Vakuum sich fortpflanzenden ebenen Lichtwelle sei, auf das System S bezogen, proportional zu

\sin\omega\left(t-\frac{lx+my+nz}{c}\right),

auf S' bezogen sei der Lichtvektor des nämlichen Vorganges proportional zu

\sin\omega'\left(t'-\frac{l'x+m'y'+n'z'}{c}\right),

Die im § 3 entwickelten Transformationsgleichungen verlangen, daß zwischen den Größen ω, l, m, n, und ω', l', m', n' die folgenden Beziehungen bestehen:

\left.\begin{matrix} \omega'= & \omega\beta\left(1-l\frac{v}{c}\right)\\ \\l'= & \frac{l-\frac{v}{c}}{1-l\frac{v}{c}}\\ \\m'= & \frac{m}{\beta\left(1-l\frac{v}{c}\right)}\\ \\n'= & \frac{n}{\beta\left(1-l\frac{v}{c}\right)}\end{matrix}\right\} (4)

[425] Die Formel für ω' wollen wir in zwei verschiedenen Weisen deuten, je nachdem wir uns den Beobachter als bewegt und die (unendlich ferne) Lichtquelle als ruhend, oder umgekehrt ersteren als ruhend und letztere als bewegt betrachten.

1. Ist ein Beobachter relativ zu einer unendlich fernen Lichtquelle, von der Frequenz ν mit der Geschwindigkeit v derart bewegt, daß die Verbindungslinie „Lichtquelle-Beobachter“ mit der auf ein relativ zur Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindigkeit des Beobachters den Winkel φ bildet, so ist die von dem Beobachter wahrgenommene Frequenz ν' des Lichtes gegeben durch die Gleichung

\nu'=\nu\frac{1-\cos\varphi\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

2. Ist eine Lichtquelle, welche bezogen auf ein mit ihr bewegtes System die Frequenz ν0 besitzt, derart bewegt, daß die Verbindungslinie „Lichtquelle-Beobachter“ mit der auf ein relativ zum Beobachter ruhendes System bezogenen Geschwindigkeit der Lichtquelle den Winlzel φ bildet, so ist die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz ν durch die Gleichung gegeben

\nu=\nu_{0}\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\cos\varphi\frac{v}{c}}(4a)

Die beiden letzten Gleichungen drücken das Dopplersche Prinzip in seiner allgemeinen Fassung aus; die letzte Gleichung läßt erkennen, wie die beobachtbare Frequenz des von Kanalstrahlen emittierten (bezw. absorbierten) Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit der die Strahlen bildenden Ionen und von der Richtung des Visierens abhängt.

Nennt man ferner φ bezw. φ' den Winkel zwischen der Wellennormale (Strahlrichtung) und der Richtung der Relativbewegung von S' gegen S (d. h. mit der x- bezw; x'-Achse), so nimmt die Gleichung für l' die Form an

\cos\varphi=\frac{\cos\varphi-\frac{v}{c}}{1-\cos\varphi\frac{v}{c}}.

Diese Gleichung zeigt den Einfluß der Relativbewegung des Beobachters auf den scheinbaren Ort einer unendlich fernen Lichtquelle (Aberration).

[426] Wir wollen noch untersuchen, wie rasch sich das Licht in einem in Richtung des Lichtstrahles bewegten Medium fortpflanzt. Das Medium ruhe relativ zum System S', und der Lichtvektor sei proportional zu

\sin\omega'\left(t'=\frac{x'}{V'}\right)

bezw. zu

\sin\omega'\left(t'-\frac{x}{V}\right),

je nachdem der Vorgang auf S' oder auf S bezogen wird.

Die Transformationsgleichungen ergeben

\omega=\beta\omega'\left(1+\frac{v}{V}\right)
\frac{\omega}{V}=\beta\frac{\omega'}{V'}\left(1+\frac{V'v}{c^{2}}\right)

Hierbei ist V' als aus der Optik ruhender Körper bekannte Funktion von ω' zu betrachten. Durch Division dieser Gleichungen erhält man

V=\frac{V'+v}{1+\frac{V'v}{c^{2}}},

welche Gleichung man auch unmittelbar durch Anwendung des Additionstheorems der Geschwindigkeiten hätte erhalten können.[9] Falls V' als bekannt anzusehen ist, löst die letzte Gleichung die Aufgabe vollständig. Falls aber nur die auf das „ruhende“ System S bezogene Frequenz (ω) als bekannt anzusehen ist, wie z. B. bei dem bekannten Experiment von Fizeau, sind die beiden obigen Gleichungen in Verbindung mit der Beziehung zwischen ω' und V' zu verwenden zur Bestimmung der drei Unbekannten ω', V' und V.

Ist ferner G bezw. G' die auf S bezw. S' bezogene Gruppengeschwindigkeit, so ist nach dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten

G=\frac{G'+v}{1+\frac{G'v}{c^{2}}},

Da die Beziehung zwischen G' und ω' aus der Optik ruhender Körper zu entnehmen ist[10], und ω' nach dem Obigen aus ω berechenbar ist, so ist die Gruppengeschwindigkeit G auch dann berechenbar, [427] wenn lediglich die auf S bezogene Frequenz des Lichtes sowie die Natur und die Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers gegeben ist.

  1. ↑ Statt von „starren“ Körpern, könnte hier sowie im folgenden ebenso gut von deformierenden Kräften nicht unterworfenen festen Körpern gesprochen werden.
  2. ↑ Hierzu braucht man noch Hilfsstäbe (Lineale, Zirkel).
  3. ↑ H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. Leiden 1895.
  4. ↑ Insbesondere kommt in Betracht, daß diese Theorie den Mitführungskoeffizienten (Fizeauscher Versuch) im Einklang, mit der Erfahrung lieferte.
  5. ↑ Dieser Schluß ist auf die physikalische Voraussetzung gegründet, daß die Länge eines Maßstabes, sowie die Ganggeschwindigkeit einer Uhr dadurch keine dauernde Änderung erleiden, daß diese Gegenstände in Bewegung gesetzt und wieder zur Ruhe gebracht werden.
  6. ↑ φ(v) = -1 kommt offenbar nicht in Betracht.
  7. ↑ J. Stark, Ann. d. Phys. 21, 401, 1906.
  8. ↑ Vgl. hierzu § 6 Gleich. (4 a).
  9. ↑ Vgl. M. Laue, Ann. d. Phys. 23, 989, 1907.
  10. ↑ Es ist nämlich G'=\frac{V'}{1+\frac{1}{V'}\frac{dV'}{dw'}}
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