Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/II

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Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen ~ II. Elektrodynamischer Teil.
written by Albert Einstein 1907

III. Mechanik des materiellen Punktes (Elektrons).

II. Elektrodynamischer Teil.

§ 7. Transformation der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen.

Wir gehen aus von den Gleichungen

$\left.\begin{matrix} \frac{1}{c}\left\{ u_{x}\varrho+\frac{\partial X}{\partial t}\right\} & = & \frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}\\ \\\frac{1}{c}\left\{ u_{y}\varrho+\frac{\partial Y}{\partial t}\right\} & = & \frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}\\ \\\frac{1}{c}\left\{ u_{z}\varrho+\frac{\partial Z}{\partial t}\right\} & = & \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\end{matrix}\right\}$

(5)

$\left.\begin{matrix} \frac{1}{c}\frac{\partial L}{\partial t} & = & \frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y}\\ \\\frac{1}{c}\frac{\partial M}{\partial t} & = & \frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z}\\ \\\frac{1}{c}\frac{\partial N}{\partial t} & = & \frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x}\end{matrix}\right\}$

(6)

In diesen Gleichungen bedeutet

(X, Y, Z) den Vektor der elektrischen Feldstärke,

(L, M, N) den Vektor der magnetischen Feldstärke,

$\varrho=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}$ die 4π-fache Dichte der Elektrizität,

(u_x, u_y, u_x) den Geschwindigkeitsvektor der Elektrizität.

Diese Gleichungen in Verbindung mit der Annahme, daß die elektrischen Massen unveränderlich an kleine starre Körper (Ionen, Elektronen) gebunden seien, bilden die Grundlage der Lorentzschen Elektrodynamik und Optik bewegter Körper.

Transformiert man diese Gleichungen, welche in bezug auf das System S gelten mögen, mit Hilfe der Transformationsgleichungen (1) auf das relativ zu S wie bei den bisherigen Betrachtungen bewegte System S', so erhält man die Gleichungen

$\left.\begin{matrix} \frac{1}{c}\left\{ u'_{x}\varrho'+\frac{\partial X'}{\partial t'}\right\} & = & \frac{\partial N'}{\partial y'}-\frac{\partial M'}{\partial z'}\\ \\\frac{1}{c}\left\{ u'_{y}\varrho'+\frac{\partial Y'}{\partial t'}\right\} & = & \frac{\partial L'}{\partial z'}-\frac{\partial N'}{\partial x'}\\ \\\frac{1}{c}\left\{ u'_{z}\varrho'+\frac{\partial Z'}{\partial t'}\right\} & = & \frac{\partial M'}{\partial x'}-\frac{\partial L'}{\partial z'}\end{matrix}\right\}$

(5')

[428]

$\left.\begin{matrix} \frac{1}{c}\frac{\partial L'}{\partial t'} & = & \frac{\partial Y}{\partial z'}-\frac{\partial Z'}{\partial y'}\\ \\\frac{1}{c}\frac{\partial M'}{\partial t'} & = & \frac{\partial Z'}{\partial x'}-\frac{\partial X'}{\partial z'}\\ \\\frac{1}{c}\frac{\partial N'}{\partial t'} & = & \frac{\partial X'}{\partial y'}-\frac{\partial Y'}{\partial x'}\end{matrix}\right\}$

(6')

wobei gesetzt ist:

$\left.\begin{matrix} X'= & X\\ \\Y'= & \beta\left(Y-\frac{v}{c}N\right)\\ \\Z'= & \beta\left(Z+\frac{v}{c}M\right)\end{matrix}\right\}$

(7a)

$\left.\begin{matrix} L'= & L\\ \\M'= & \beta\left(M+\frac{v}{c}Z\right)\\ \\N'= & \beta\left(N-\frac{v}{c}Y\right)\end{matrix}\right\}$

(7b)

$\varrho'=\frac{\partial X'}{\partial x'}+\frac{\partial Y'}{\partial y'}+\frac{\partial Z'}{\partial z'}=\beta\left(1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right)\varrho$

(8)

$\left.\begin{matrix} u'_{x}= & \frac{u{}_{x}-v}{1-\frac{u{}_{x}v}{c^{2}}}\\ \\u'_{y}= & \frac{u_{y}}{\beta\left(1-\frac{u{}_{x}v}{c^{2}}\right)}\\ \\u'_{z}= & \frac{u_{z}}{\beta\left(1-\frac{u{}_{x}v}{c^{2}}\right)}\end{matrix}\right\}$

(9)

Die erlangten Gleichungen sind von derselben Gestalt wie die Gleichungen (5) und (6). Aus dem Relativitätsprinzip folgt andererseits, daß die elektrodynamischen Vorgänge, auf S' bezogen, nach den gleichen Gesetzen verlaufen wie die auf S bezogenen. Wir schließen hieraus zunächst, daß X', Y', Z' bezw. L', M', N' nichts anderes sind als die Komponenten der auf S' bezogenen elektrischen bezw. magnetischen Feldstärke.^[1] Da ferner gemäß den Umkehrungen der [429] Gleichungen (3) die in den Gleichungen (9) auftretenden Größen u_x', u_y', u_z' gleich sind den Geschwindigkeitskomponenten der Elektrizität in bezug auf S', so ist $\varrho'$ die auf S', bezogene Dichte der Elektrizität. Die elektrodynamische Grundlage der Maxwell-Lorentzschen Theorie entspricht also dem Prinzip der Relativität.

Zur Interpretation der Gleichungen (7a) bemerken wir folgendes. Es liege eine punktförmige Elektrizitätsmenge vor, welche relativ zu S ruhend in bezug auf S von der Größe „eins“ sei, d. h. auf eine gleiche, ebenfalls in bezug auf S ruhende Elektrizitätsmenge im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn ausübe. Nach dem Relativitätsprinzip ist diese elektrische Masse auch dann gleich „eins“, wenn sie relativ zu S' ruht und von S' aus untersucht wird.^[2] Ruht diese Elektrizitätsmenge relativ zu S, so ist (X, Y, Z) definitionsgemäß gleich der auf sie wirkenden Kraft, wie sie z. B. mittels einer relativ zu S ruhenden Federwage gemessen werden könnte. Die analoge Bedeutung hat der Vektor (X', Y', Z') mit Bezug auf S'.

Gemäß den Gleichungen (7a) und (7b) kommt einer elektrischen bezw. magnetischen Feldstärke an und für sich keine Existenz zu, indem es von der Wahl des Koordinatensystems abhängen kann, ob an einer Stelle (genauer: in der örtlich-zeitlichen Umgebung eines Punktereignisses) eine elektrische bezw. magnetische Feldstärke vorhanden ist oder nicht. Man ersieht ferner, daß die bisher eingeführten „elektromotorischen“ Kräfte, welche auf eine in einem Magnetfelde bewegte elektrische Masse wirken, nichts anderes sind als „elektrische“ Kräfte, falls man ein zu der betrachteten elektrischen Masse ruhendes Bezugssystem einführt. Die Fragen über den Sitz jener elektromotorischen Kräfte (bei Unipolarmaschinen) werden daher gegenstandslos; die Antwort fällt nämlich verschieden aus, je nach der Wahl des Bewegungszustandes des benutzten Bezugssystems.

Die Bedeutung der Gleichung (8) erkennt man aus folgendem. Ein elektrisch geladener Körper ruhe relativ zu S'. Seine auf S' bezogene Gesamtladung ε' ist dann $\int\frac{\varrho'}{4\pi}dx'dy'dz'$ . Wie groß ist seine Gesamtladung ε zu einer bestimmten Zeit t von S?

Aus den drei letzten der Gleichungen (1) folgt, daß für konstantes t die Beziehung gilt:

dx' dy' dz' = β dx dy dz

[430] Gleichung (8) lautet in unserem Falle:

$\varrho'=\frac{1}{\beta}\varrho.$

Aus diesen beiden Gleichungen folgt, daß

ε' = ε

sein muß. Gleichung (8) sagt also aus, daß die elektrische Masse eine vom Bewegungszustand des Bezugssystems unabhängige Größe ist. Bleibt also die Ladung eines beliebig bewegten Körpers vom Standpunkt eines mitbewegten Bezugssystems konstant, so bleibt sie auch in bezug auf jedes andere Bezugssystem konstant.

Mit Hilfe der Gleichungen (1), (7), (8) und (9) läßt sich jedes Problem der Elektrodynamik und Optik bewegter Körper, in welchem nur Geschwindigkeiten, nicht aber Beschleunigungen eine wesentliche Rolle spielen, auf eine Reihe von Problemen der Elektrodynamik bezw. Optik ruhender Körper zurückführen.

Wir behandeln noch ein einfaches Anwendungsbeispiel für die hier entwickelten Beziehungen. Eine ebene, im Vakuum sich fortpflanzende Lichtwelle sei relativ zu S dargestellt durch die Gleichungen

$\begin{matrix} X=X_{0}\sin\Phi & & L=L_{0}\sin\Phi\\ \\Y=Y_{0}\sin\Phi & & M=M_{0}\sin\Phi & & \Phi=w\left(t-\frac{lx+my+nz}{c}\right)\\ \\Z=Z_{0}\sin\Phi & & N=N_{0}\sin\Phi\end{matrix}$

Wir fragen nach der Beschaffenheit dieser Welle, wenn dieselbe auf das System S' bezogen wird.

Durch Anwendung der Transformationsgleichungen (1) und (7) erhält man

$\begin{matrix} X'= & X_{0}\sin\Phi & & L'= & L_{0}\sin\Phi'\\ \\Y'= & \beta\left(Y_{0}-\frac{v}{c}N_{0}\right)\sin\Phi' & & M'= & \beta\left(M_{0}+\frac{v}{c}Z_{0}\right)\sin\Phi'\\ \\Z'= & \beta\left(Z_{0}+\frac{v}{c}M_{0}\right)\sin\Phi' & & N'= & \beta\left(N_{0}-\frac{v}{c}Y_{0}\right)\sin\Phi'\end{matrix}$ $\Phi'=w'\left(t'-\frac{l'x'+m'y'+n'z'}{c}\right).$

Daraus, daß die Funktionen X' usw. den Gleichungen (5') und (6') genügen müssen, folgt, daß auch in bezug auf S' Wellennormale, elektrische Kraft und magnetische Kraft aufeinander senkrecht stehen, und daß die beiden letzteren einander gleich sind. Die Beziehungen, die aus der Identität Φ = Φ' fließen, haben wir schon in § 6 behandelt; wir haben hier nur noch Amplitude und Polarisationszustand der Welle in bezug auf S' zu ermitteln.

[431] Wir wählen die X-Y-Ebene parallel zur Wellennormale und behandeln zunächst den Fall, daß die elektrische Schwingung parallel zur Z-Achse erfolgt. Dann haben wir zu setzen:

X₀ = 0
Y₀ = 0
Z₀ = A

L₀ = -A sin φ
M₀ = -A cos φ
N₀ = 0,

wobei φ den Winkel zwischen Wellennormale und X-Achse bezeichnet. Es folgt nach dem Obigen

X' = 0
Y' =0
$Z'=\beta\left(1-\frac{v}{c}\cos\varphi\right)A\ \sin\varphi$

L' = -A sinφ sinΦ'
$M'=\beta\left(-\cos\varphi+\frac{v}{c}\right)A\ \sin\Phi'$
N'= 0.

Bedeutet also A' die Amplitude der Welle in bezug auf S', so ist

$A'=A\frac{1-\frac{v}{c}\cos\varphi}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

(10)

Für den Spezialfall, daß die magnetische Kraft senkrecht auf der Richtung der Relativbewegung und der Wellennormale steht, gilt offenbar die gleiche Beziehung. Da man aus diesen beiden Spezialfällen den allgemeinen Fall durch Superposition konstruieren kann, so folgt, daß bei der Einführung eines neuen Bezugssystems S' die Beziehung (10) allgemein gilt, und daß der Winkel zwischen der Polarisationsebene und einer zur Wellennormale und zur Richtung der Relativbewegung parallelen Ebene in den beiden Bezugssystemen derselbe ist.

↑ Die Übereinstimmung der gefundenen Gleichungen mit den Gleichungen (5) und (6) läßt zwar die Möglichkeit offen, daß sich die Größen X' usw. von den auf S' bezogenen Feldstärken um einen konstanten Faktor unterscheiden. Daß dieser Faktor gleich 1 sein muß, läßt sich aber leicht auf ganz ähnliche Weise zeigen wie in § 3 bei der Funktion φ(v).
↑ Dieser Schluß gründet sich ferner auf die Annahme, daß die Größe einer elektrischen Masse von deren Bewegungsvorgeschichte unabhängig ist.

[0] Die Übereinstimmung der gefundenen Gleichungen mit den Gleichungen (5) und (6) läßt zwar die Möglichkeit offen, daß sich die Größen X' usw. von den auf S' bezogenen Feldstärken um einen konstanten Faktor unterscheiden. Daß dieser Faktor gleich 1 sein muß, läßt sich aber leicht auf ganz ähnliche Weise zeigen wie in § 3 bei der Funktion φ(v).

[1] Dieser Schluß gründet sich ferner auf die Annahme, daß die Größe einer elektrischen Masse von deren Bewegungsvorgeschichte unabhängig ist.

[1]

[2]

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