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Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/III

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II. Elektrodynamischer Teil. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen ~ III. Mechanik des materiellen Punktes (Elektrons).
written by Albert Einstein 1907 		IV. Zur Mechanik und Thermodynamik der Systeme.


Contents

III. Mechanik des materiellen Punktes (Elektrons).

§ 8. Ableitung der Bewegungsgleichungen des (langsam beschleunigten) materiellen Punktes bezw. Elektrons.

In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein mit einer elektrischen Ladung ε versehenes Teilchen (im folgenden „Elektron“ genannt), über dessen Bewegungsgesetz wir folgendes annehmen:

Ruht das Elektron in einem bestimmten Zeitpunkt in bezug auf ein (beschleunigungsfreies) System S', so erfolgt dessen Bewegung im nächsten Zeitteilchen in bezug auf S' nach den Gleichungen [432]

\mu\frac{d^{2}x'_{0}}{dt'^{2}}=\epsilon X'
\mu\frac{d^{2}y'_{0}}{dt'^{2}}=\epsilon Y'
\mu\frac{d^{2}z'_{0}}{dt'^{2}}=\epsilon Z',

wobei x0', y0', z0' die Koordinaten des Elektrons in bezug auf S' bezeichnen, und μ eine Konstante bedeutet, welche wir die Masse des Elektrons nennen.

Wir führen ein System S ein, relativ zu welchem S' wie bei unseren bisherigen Untersuchungen bewegt sei, und transformieren unsere Bewegungsgleichungen mittels der Transformationsgleichungen (1) und (7a).

Erstere lauten in unserem Falle

t'=\beta\left(t-\frac{v}{c^{2}}x_{0}\right)
x0' = β(x0 - vt)
y0' = y0
z0' = z0

Aus diesen Gleichungen erhalten wir, indem wir \frac{dx_{0}}{dt}=\dot{x}_{0} usw. setzen:

\frac{dx'_{0}}{dt'}=\frac{\beta\left(\dot{x}_{0}-v)\right)}{\beta\left(1-\frac{v\dot{x}_{0}}{c^{2}}\right)} usw.
\frac{d^{2}x'_{0}}{dt'^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}\left\{ \frac{dx'_{0}}{dt'}\right\} }{\beta\left(1-\frac{vx'_{0}}{c^{2}}\right)}=\frac{1}{\beta}\frac{\left(1-\frac{v\dot{x}_{0}}{c^{2}}\right)\ddot{x}_{0}+\left(\dot{x}_{0}-v\right)\frac{v\ddot{x}_{0}}{c^{2}}}{\left(1-\frac{v\dot{x}_{0}}{c^{2}}\right)} usw.

Setzt man diese Ausdrücke, nachdem man in ihnen \dot{x}_{0}=v,\ \dot{y}_{0}=0,\ \dot{z}_{0}=0 gesetzt hat, in die obigen Gleichungen ein, so erhält man, indem man gleichzeitig X', Y', Z' mittels der Gleichungen (7a) ersetzt

\mu\beta^{3}\ddot{x}_{0}=\epsilon X
\mu\beta\ddot{y}_{0}=\epsilon\left(Y-\frac{v}{c}N\right)
\mu\beta\ddot{z}_{0}=\epsilon\left(Z+\frac{v}{c}M\right).

Diese Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen des Elektrons für den Fall, daß in dem betreffenden Augenblick \dot{x}_{0}=0,\ \dot{y}_{0}=0,\ \dot{z}_{0}=0 ist. Man kann also auf den linken Seiten statt v die durch die Gleichung [433]

q=\sqrt{\dot{x}_{0}^{2}+\dot{y}_{0}^{2}+\dot{z}_{0}^{2}}

definierte Geschwindigkeit q einsetzen und auf den rechten Seiten v durch \dot{x}_{0} ersetzen. Außerdem fügen wir die durch zyklische Vertauschung aus \frac{\dot{x}_{0}}{c}M und -\frac{\dot{x}_{0}}{c}N zu gewinnenden Glieder, welche in dem betrachteten Spezialfalle verschwinden, an den entsprechenden Stellen hinzu. Indem wir den Index bei x0 usw. weglassen, erhalten wir so für den betrachteten Spezialfall mit den obigen gleichbedeutenden Gleichungen:

\left.\begin{matrix} \frac{d}{dt}\left\{ \frac{\mu\dot{x}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\right\} & =K_{x}\\ \\\frac{d}{dt}\left\{ \frac{\mu\dot{y}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\right\} & =K_{y}\\ \\\frac{d}{dt}\left\{ \frac{\mu\dot{z}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\right\} & =K_{z}\end{matrix}\right\} (11)

wobei gesetzt ist:

\left.\begin{matrix} K_{x}= & \epsilon\left\{ X+\frac{\dot{y}}{c}N-\frac{\dot{z}}{c}M\right\} \\ \\K_{y}= & \epsilon\left\{ Y+\frac{\dot{z}}{c}L-\frac{\dot{x}}{c}N\right\} \\ \\K_{x}= & \epsilon\left\{ Z+\frac{\dot{x}}{c}M-\frac{\dot{y}}{c}L\right\} \end{matrix}\right\} (1)

Diese Gleichungen ändern ihre Form nicht, wenn man ein neues, relativ ruhendes Koordinatensystem mit anders gerichteten Achsen einführt. Sie gelten daher allgemein, nicht nur, wenn \dot{x}=\dot{z}=0 ist.

Den Vektor (Kx, Ky, Kz) nennen wir die auf den materiellen Punkt wirkende Kraft. In dem Falle, daß q² gegen c² verschwindet, gehen Kx, Ky, Kz nach Gleichungen (11) in die Kraftkomponenten gemäß Newtons Definition über. Im nächsten Paragraphen ist ferner dargelegt, daß in der Relativitätsmechanik jener Vektor auch im übrigen dieselbe Rolle spielt wie die Kraft in der klassischen Mechanik.

Wir wollen an den Gleichungen (11) auch in dem Falle festhalten, daß die auf den Massenpunkt ausgeübte Kraftwirkung nicht elektromagnetischer Natur ist. In diesem Falle haben die Gleichungen [434] (11) keinen physikalischen Inhalt, sondern sie sind dann als Definitionsgleichungen der Kraft aufzufassen.

§ 9. Bewegung des Massenpunktes und mechanische Prinzipien.

Multipliziert man die Gleichungen (5) und (6) der Reihe nach mit \frac{X}{4\pi},\ \frac{Y}{4\pi}\dots\frac{N}{4\pi} und integriert über einen Raum, an dessen Grenzen die Feldstärken verschwinden, so erhält man

\int\frac{\varrho}{4\pi}\left(u_{x}X+u_{y}Y+u_{z}Z\right)d\omega+\frac{dE_{e}}{dt}=0,(13)

wobei

E_{e}=\int\left[\frac{1}{8\pi}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)+\frac{1}{8\pi}\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}\right)\right]d\omega

die elektromagnetische Energie des betrachteten Raumes ist. Das erste Glied der Gleichung (13) ist nach dem Energieprinzip gleich der Energie, welche vom elektromagnetischen Felde pro Zeiteinheit an die Träger der elektrischen Massen abgegeben wird. Sind elektrische Massen mit einem materiellen Punkte starr verbunden (Elektron), so ist der auf sie entfallende Anteil jenes Gliedes gleich dem Ausdruck

\epsilon(X\dot{x}+Y\dot{y}+Z\dot{z})

wenn (X, Y, Z) die äußere elektrische Feldstärke bezeichnet, d. h. die Feldstärke abzüglich derjenigen, welche von der Ladung des Elektrons selbst herrührt. Dieser Ausdruck geht vermöge der Gleichungen (12) über in

K_{x}\dot{x}+K_{y}\dot{y}+K_{z}\dot{z}

Der im vorigen Paragraph als „Kraft“ bezeichnete Vektor (Kx, Ky, Kx) steht also zu der geleisteten Arbeit in derselben Beziehung wie bei der Newtonschen Mechanik.

Multipliziert man also die Gleichungen (11) der Reihe nach mit x, y, z, addiert und integriert über die Zeit, so muß sich die kinetische Energie des materiellen Punktes (Elektrons) ergeben. Man erhält

\int\left(K_{x}\dot{x}+K_{y}\dot{y}+K_{z}\dot{z}\right)dt=\frac{\mu c^{2}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}+const.(1)

Daß die Bewegungsgleichungen (11) mit dem Energieprinzip im Einklang sind, ist damit gezeigt. Wir wollen nun dartun, daß sie auch dem Prinzip von der Erhaltung der Bewegungsgröße entsprechen.

Multipliziert man die zweite und dritte der Gleichungen (5) und [435] die zweite und dritte der Gleichungen (6) der Reihe nach mit \frac{N}{4\pi},\ \frac{-M}{4\pi},\ \frac{-Z}{4\pi},\ \frac{-Y}{4\pi}, addiert und integriert über einen Raum, an dessen Grenzen die Feldstärken verschwinden, so erhält man

\frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(YN-ZM)d\omega\right]+\int\frac{\varrho}{4\pi}\left(X+\frac{u_{y}}{c}N-\frac{u_{z}}{c}M\right)d\omega=0(15)

oder gemäß den Gleichungen (12)

\frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(YN-ZM)d\omega\right]+\Sigma K_{x}=0(15a)

Sind die elektrischen Massen an frei bewegliche materielle Punkte (Elektronen) gebunden, so geht diese Gleichung vermöge (11) über in

\frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(YN-ZM)+\Sigma\right]\frac{\mu\dot{x}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}=0(15b)

Diese Gleichung drückt in Verbindung mit den durch zyklische Vertauschung zu gewinnenden den Satz von der Erhaltung der Bewegungsgröße in dem hier betrachteten Falle aus. Die Größe \xi=\frac{\mu\dot{x}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} spielt also die Rolle der Bewegungsgröße des materiellen Punktes, und es ist gemäß Gleichungen (11) wie in der klassischen Mechanik

\frac{d\xi}{dt}=K_{x}.

Die Möglichkeit, eine Bewegungsgröße des materiellen Punktes einzuführen, beruht darauf, daß in den Bewegungsgleichungen die Kraft bezw. das zweite Glied der Gleichung (15) als Differentialquotient nach der Zeit dargestellt werden kann.

Man sieht ferner unmittelbar, daß unseren Bewegungsgleichungen des materiellen Punktes die Form der Bewegungsgleichungen von Lagrange gegeben werden kann; denn es ist gemäß Gleichungen (11)

\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial H}{\partial\dot{x}}\right]=K_{x} usw.,

wobei

H=-\mu c^{2}\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}+const

gesetzt ist. Die Bewegungsgleichungen lassen sich auch darstellen in der Form des Hamiltonschen Prinzips [436]

\int\limits _{t_{0}}^{t_{1}}(dH+A)dt=0,

wobei die Zeit t sowie die Anfangs- und Endlage unvariiert bleibt und A die virtuelle Arbeit bezeichnet:

A=K_{x}\partial x+K_{y}\partial y+K_{z}\partial z.

Endlich stellen wir noch die Hamiltonschen kanonischen Bewegungsgleichungen auf. Hierzu dient die Einführung der „Impulskoordinaten“ (Komponenten der Bewegungsgröße) ξ, η, ζ, wobei wie oben gesetzt ist

\xi=\frac{\partial H}{\partial\dot{x}}=\frac{\mu x}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}} usw.

Betrachtet man die kinetische Energie L als Funktion von ξ, η, ζ und setzt \xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=\varrho^{2}, so ergibt sich

L=\mu c^{2}\sqrt{1+\frac{\varrho^{2}}{\mu^{2}c^{2}}}+const

und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen werden:

\begin{matrix} \frac{d\xi}{dt}=K_{x} & & \frac{d\eta}{dt}=K_{y} & & \frac{d\zeta}{dt}=K_{z}\\ \\\frac{dx}{dt}=\frac{\partial L}{\partial\xi} & & \frac{dy}{dt}=\frac{\partial L}{\partial\eta} & & \frac{dz}{dt}=\frac{\partial L}{\partial\zeta}.\end{matrix}

§ 10. Über die Möglichkeit einer experimentellen Prüfung
der Theorie der Bewegung des materiellen Punktes.
Kaufmannsche Untersuchung.

Eine Aussicht auf Vergleichung der im letzten Paragraphen abgeleiteten Resultate mit der Erfahrung ist nur da vorhanden, wo bewegte, mit einer elektrischen Ladung versehene Massenpunkte Geschwindigkeiten besitzen, deren Quadrat gegenüber c² nicht zu vernachlässigen ist. Diese Bedingung ist bei den rascheren Kathodenstrahlen und bei den von radioaktiven Substanzen ausgesandten Elektronenstrahlen (β-Strahlen) erfüllt.

Es gibt drei Größen bei Elektronenstrahlen, deren gegenseitige Beziehungen Gegenstand einer genaueren experimentellen Untersuchung sein können, nämlich das Erzeugungspotential bezw. die kinetische Energie der Strahlen, die Ablenkbarkeit durch ein elektrisches Feld und die Ablenkbarkeit durch ein magnetisches Feld.

Das Erzeugungspotential Π ist gemäß (14) gegeben durch die Formel [437]

\Pi\epsilon=\mu\left\{ \frac{c^{2}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}-1\right\}

zur Berechnung der andern beiden Größen schreiben wir die letzte der Gleichungen (11) hin für den Fall, daß die Bewegung momentan parallel zur X-Achse ist; man erhält, falls man mit ε den absoluten Betrag der Ladung des Elektrons bezeichnet,

-\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{\epsilon}{\mu}\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}\left(Z+\frac{q}{c}M\right).

Falls Z und M die einzigen ablenkenden Feldkomponenten sind, die Krümmung also in der XZ-Ebene erfolgt, ist der Krümmungsradius R der Bahn gegeben durch \frac{q^{2}}{R}=\left[\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right]. Definiert man als elektrische bezw. magnetische Ablenkbarkeit die Größe A_{e}=\frac{1}{R}:Z bzw. A_{m}=\frac{1}{R}:M für den Fall, daß nur eine elektrische bezw. nur eine magnetische ablenkende Feldkomponente vorhanden ist, so hat man also

A_{e}=\frac{\epsilon}{\mu}\frac{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}{q^{2}}
A_{m}=\frac{\epsilon}{\mu}\frac{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}{cq}.

Bei Kathodenstrahlen kommen alle drei Größen, Π, Ae und Am für die Messung in Betracht; es liegen jedoch noch keine Untersuchungen bei genügend raschen Kathodenstrahlen vor. Bei β-Strahlen sind (praktisch) nur die Größen Ae und Am der Beobachtung zugänglich. Herr W. Kaufmann hat mit bewundernswürdiger Sorgfalt die Beziehung zwischen Am und Ae für die von einem Radium-Bromid-Körnchen ausgesandten β-Strahlen ermittelt.[1]

Sein Apparat, dessen hauptsächliche Teile in Fig. 1 in natürlicher Größe dargestellt sind, bestand im wesentlichen in einem lichtdichten, im Innern eines evakuierten Glasgefäßes befindlichen Messinggehäuse H, auf dessen Boden A in einer kleinen Vertiefung O sich das Radiumkörnchen befand. Die von ihm ausgehenden β-Strahlen durchlaufen [438] den Zwischenraum zwischen zwei Kondensatorplatten P1 und P2, treten durch das Diaphragma D von 0,2 mm Durchmesser und fallen dann auf die photographische Platte. Die Strahlen wurden durch ein zwischen den Kondensatorplatten P1 und P2 gebildetes elektrisches Feld sowie

Fig. 1 (nat. Gr.)

durch ein von einem großen permanenten Magneten erzeugtes, in gleicher Richtung verlaufendes magnetisches Feld senkrecht dazu abgelenkt, so daß durch die Wirkung der Strahlen einer bestimmten Geschwindigkeit ein Punkt, durch die Wirkung der Teilchen von den verschiedenen Geschwindigkeiten zusammen eine Kurve auf der Platte markiert wurde.

Fig. 2 zeigt diese Kurve[2], welche bis auf den Maßstab für Abszisse [439] und Ordinate die Beziehung zwischen Am (Abszisse) und Ae (Ordinate) darstellt. Über der Kurve sind durch Kreuzchen der nach der Relativitätstheorie berechneten Kurve angegeben, wobei für \frac{\epsilon}{\mu} der Wert 1,878 · 107 angenommen ist.

In Anbetracht der Schwierigkeit der Untersuchung möchte man geneigt sein, die Übereinstimmung als eine genügende anzusehen. Die vorhandenen Abweichungen sind jedoch systematisch und erheblich

Fig. 2.

außerhalb der Fehlergrenze der Kaufmannschen Untersuchung. Daß die Berechnungen von Herrn Kaufmann fehlerfrei sind, geht daraus hervor, daß Herr Planck bei Benutzung einer anderen Berechnungemethode zu Resultaten geführt wurde, die mit denen von Herrn Kaufmann durchaus übereinstimmen.[3]

Ob die systematischen Abweichungen in einer noch nicht gewürdigten Fehlerquelle oder darin ihren Grund haben, daß die Grundlagen der Relativitätstheorie nicht den Tatsachen entsprechen, kann wohl erst dann mit Sicherheit entschieden werden, wenn ein mannigfaltigeres Beobachtungsmaterial vorliegen wird.

Es ist noch zu erwähnen, daß die Theorien der Elektronenbewegung von Abraham[4] und von Bucherer[5] Kurven liefern, die sich der beobachteten Kurve erheblich besser anschließen als die aus der Relativitätstheorie ermittelte Kurve. Jenen Theorien kommt aber nach meiner Meinung eine ziemlich geringe Wahrscheinlichkeit zu, weil ihre die Maße des bewegten Elektrons betreffenden Grundannahmen nicht nahe gelegt werden durch theoretische Systeme, welche größere Komplexe von Erscheinungen umfassen. [440]

  1. ↑ W. Kaufmann, Über die Konstitution des Elektrons. Ann. Phys. 19, 1906. Die beiden Figuren sind der Kaufmannschen Arbeit entnommen.
  2. ↑ Die in der Figur angegebenen Maßzahlen bedeuten Millimeter auf der photographischen Platte. Die gezeichnete Kurve ist nicht genau die beobachtete, sondern die „auf unendlich kleine Ablenkung recluzierte“ Kurve.
  3. ↑ Vergl. M. Planck, Verhandl. d. Deutschen Phys. Ges. VIII. Jahrg. Nr. 20, 1906; IX. Jahrg. Nr. 14, 1907.
  4. ↑ M. Abraham, Gött. Nachr. 1902.
  5. ↑ A. H. Bucherer, Math. Einführung in die Elektronentheorie, S. 58, Leipzig 1904.
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