Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/IV

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Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen ~ IV. Zur Mechanik und Thermodynamik der Systeme.
written by Albert Einstein 1907

V. Relativitätsprinzip und Gravitation.

IV. Zur Mechanik und Thermodynamik der Systeme.

§ 11. Über die Abhängigkeit der Masse von der Energie.

Wir betrachten ein von einer für Strahlung nicht durchlässigen Hülle umgebenes physikalisches System. Dies System schwebe frei im Raume und sei keinen andern Kräften unterworfen, als den Einwirkungen elektrischer und magnetischer Kräfte des umgebenden Raumes. Durch letztere kann auf das System Energie in Form von Arbeit und Wärme übertragen werden, welche Energie im Innern des Systems irgendwelche Verwandlungen erfahren kann. Die von dem System aufgenommene Energie ist, auf das System S bezogen, gemäß (13) gegeben durch den Ausdruck

$\int dE=\int dt\int\frac{\varrho}{4\pi}\left(X_{a}u_{x}+Y_{a}u_{y}+Z_{y}u_{z}\right)d\omega,$

wobei (X_a, Y_a, Z_a) den Feldvektor des äußern, nicht zum System gerechneten Feldes und $\frac{\varrho}{4\pi}$ die Elektrcizitätsdichte in der Hülle bedeutet. Diesen Ausdruck transformieren wir mittels der Umkehrungen der Gleichungen (7a), (8) und (9), indem wir berücksichtigen, daß gemäß den Gleichungen (1) die Funktionaldeterminante

$\frac{D(x',\ y',\ z',\ t')}{D(x,\ y,\ z,\ t)}$

gleich eins ist. Wir erhalten so

$\int dE=\beta\int\int\frac{\varrho'}{4\pi}\left(u'_{x}X'_{a}+u'_{y}Y'_{a}+u'_{z}Z'_{a}\right)d\omega'dt'$ $+\beta v\int\int\frac{\varrho'}{4\pi}\left(X'_{a}+\frac{u'_{y}}{c}N'_{a}-\frac{u'_{z}}{c}M'_{a}\right)d\omega'dt',$

oder, da auch in bezug auf S' das Energieprinzip gelten muß, in leicht verständlicher Schreibweise

$dE=\beta dE'+\beta v\int\left[\Sigma K'_{x}\right]dt'.$

(16)

Wir wollen diese Gleichung auf den Fall anwenden, daß sich das betrachtete System derart gleichförmig bewegt, daß es als Ganzes relativ zu dem Bezugssystem S' ruht. Dann dürfen wir, falls die Teile des Systems relativ zu S' so langsam bewegt sind, daß die Quadrate 'der Geschwindigkeiten relativ zu S' gegenüber c² zu vernachlässigen sind, in bezug auf S' die Sätze der Newtonschen Mechanik anwenden. Es kann also nach dem Schwerpunktsatz das betrachtete System (genauer gesagt, dessen Schwerpunkt) nur dann dauernd in Ruhe bleiben, wenn für jedes t'

ΣK'_x = 0

[441] ist. Trotzdem braucht das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung (16) nicht zu verschwinden, weil die zeitliche Integration nicht zwischen zwei bestimmten Werten von t', sondern zwischen zwei bestimmten Werten von t auszuführen ist.

Wenn aber am Anfang und am Ende der betrachteten Zeitspanne keine äußeren Kräfte auf das Körpersystem wirken, so verschwindet jenes Glied, so daß wir einfach erhalten

dE = β · dE'.

Aus dieser Gleichung schließen wir zunächst, daß die Energie eines (gleichförmig) bewegten Systems, das nicht unter dem Einfluß äußerer Kräfte steht, eine Funktion zweier Variabeln ist, nämlich der Energie E₀ des Systems relativ zu einem mitbewegten Bezugssystem^[1], und der Translationsgeschwindigkeit q des Systems, und wir erhalten

$\frac{\partial E}{\partial E_{0}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}.$

Daraus folgt

$E=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}E+\varphi(q),$

wobei φ(q) eine vorläufig unbekannte Funktion von q ist. Den Fall, daß E₀ gleich 0 ist, d. h. daß die Energie des bewegten Systems Funktion der Geschwindigkeit q allein ist, haben wir bereits in den § 8 und 9 untersucht. Aus Gleichung 14 folgt unmittelbar, daß wir zu setzen haben

$\varphi(q)=\frac{\mu c^{2}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}+const.$

Wir erhalten also

$E=\left(\mu+\frac{E_{0}}{c^{2}}\right)\frac{c^{2}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}},$

(16a)

wobei die Integrationskonstante weggelassen ist. Vergleicht man diesen Ausdruck für E mit dem in Gleichung (14) enthaltenen Ausdruck für die kinetische Energie des materiellen Punktes, so erkennt man, daß [442] beide Ausdrücke von derselben Form sind; bezüglich der Abhängigkeit der Energie von der Translationsgeschwindigkeit verhält sich das betrachtete physikalische System wie ein materieller Punkt von der Masse M, wobei M von dem Energieinhalt E₀ des Systems abhängt nach der Formel

$M=\mu+\frac{E_{0}}{c^{2}}.$

(17)

Dies Resultat ist von außerordentlicher theoretischer Wichtigkeit, weil in demselben die träge Masse und die Energie eines physikalischen Systems als gleichartige Dinge auftreten. Eine Masse μ ist in bezug auf Trägheit äquivalent mit einem Energieinhalt von der Größe μc². Da wir über den Nullpunkt von E₀ willkürlich verfügen können, sind wir nicht einmal imstande, ohne Willlkür zwischen einer „wahren“ und einer „scheinbaren“ Masse des Systems zu unterscheiden. Weit natürlicher erscheint es, jegliche träge Masse als einen Vorrat von Energie aufzufassen.

Der Satz von der Konstanz der Masse ist nach unserem Resultat für ein einzelnes physikalisches System nur dann zutreffend, wenn dessen Energie konstant bleibt; er ist dann gleichbedeutend mit dem Energieprinzip. Allerdings sind die Änderungen, welche die Masse physikalischer Systeme bei den bekannten physikalischen Vorgängen erfährt, stets unmeßbar klein. Die Abnahme der Masse eines Systems, welches 1000 Gramm-Kalorien abgibt, beträgt z. B. 4,6 · 10^-11 gr.

Beim radioaktiven Zerfall eines Stoffes werden ungeheure Energiemengen frei; ist die bei einem derartigen Prozeß auftretende Verminderung der Masse nicht groß genug, um konstatiert zu werden?

Herr Planck schreibt hierüber: „Nach J. Precht^[2] entwickelt ein Grammatom Radium, wenn es von einer hinreichend dicken Bleischicht umgeben ist, pro Stunde 134, >< 225 = 30240 gr-cal. Dies ergibt nach (17) für die Stunde eine Verminderung der Masse um

$\frac{30240\cdot419\cdot10^{5}}{9\cdot10^{20}}gr=1,41\cdot10^{-6}mgr$

oder in einem Jahre eine Verminderung der Masse um 0,012 mgr. Dieser Betrag ist allerdings, besonders mit Rücksicht auf das hohe Atomgewicht des Radiums, immer noch so winzig, daß er wohl zunächst außer dem Bereich der möglichen Erfahrung liegt“. Es liegt nahe, sich zu fragen, ob man nicht durch Anwendung einer indirekten Methode zum Ziele kommen könnte. Es sei M das Atomgewicht des [443] zerfallenden Atoms, m₁, m₂ etc. seien die Atomgewichte der Endprodukte des radioaktiven Zerfalls, dann muß sein

$M-\Sigma m=\frac{E}{c^{2}},$

wobei E die beim Zerfall eines Grammatoms entwickelte Energie bedeutet; diese kann berechnet werden, wenn man die bei stationärem Zerfall pro Zeiteinheit entwickelte Energie und die mittlere Zerfalldauer des Atoms kennt. Ob die Methode mit Erfolg angewendet werden kann, hängt in erster Linie davon ab, ob es radioaktive Reaktionen gibt, für welche $\frac{M-\Sigma m}{M}$ nicht allzu klein gegen 1 ist. Für den oben erwähnten Fall des Radiums ist — wenn man die Lebensdauer desselben zu 2600 Jahren annimmt — ungefähr

$\frac{M-\Sigma m}{M}=\frac{12\cdot10^{-6}\cdot2600}{250}=0,00012.$

Wenn also die Lebensdauer des Radiums einigermaßen richtig bestimmt ist, müßte man die in Betracht kommenden Atomgewichte auf fünf Stellen genau kennen, um unsere Beziehung prüfen zu können. Dies ist natürlich ausgeschlossen. Es ist indessen möglich, daß radioaktive Vorgänge bekannt werden, bei welchen ein bedeutend größerer Prozentsatz der Masse des ursprünglichen Atoms sich in Energie diverser Strahlungen verwandelt als beim Radium. Es liegt wenigstens nahe, sich vorzustellen, daß die Energieentwickelung beim Zerfall eines Atoms bei verschiedenen Stoffen nicht minder verschieden sei als die Raschheit des Zerfalls.

Im vorhergehenden ist stillschweigend vorausgesetzt, daß eine derartige Massenänderung mit dem zur Messung von Massen gewöhnlich benutzten Instrument, der Wage, gemessen werden könne, daß also die Beziehung

$M=\mu+\frac{E_{0}}{c^{2}}$

nicht nur für die träge Masse, sondern auch für die gravitierende Masse gelte, oder mit anderen Worten, daß Trägheit und Schwere eines Systems unter allen Umständen genau proportional seien. Wir hätten also auch z. B. anzunehmen, daß in einem Hohlraum eingeschlossene Strahlung nicht nur Trägheit, sondern auch Gewicht besitze. Jene Proportionalität zwischen träger und schwerer Masse gilt aber ausnahmslos für alle Körper mit der bisher erreichten Genauigkeit, so daß wir bis zum Beweise des Gegenteils die Allgemeingültigkeit [444] annehmen müssen. Wir werden ferner im letzten Abscnnitt dieser Abhandlung ein neues, die Annahme stützendes Argument finden.

§ 12. Energie und Bewegungsgröße eines bewegten Systems.

Wir betrachten wieder wie im vorigen Paragraphen ein frei im Raume schwebendes System, welches von einer für Strahlung nicht durchlässigen Hülle umgeben ist. Mit X_a, Y_a, Z_a etc. bezeichnen wir wieder die Feldstärken des äußeren elektromagnetischen Feldes, welches den Energieaustausch des Systems mit anderen Systemen vermittle_ Auf dies äußere Feld können wir die Betrachtungen anwenden, welche uns zu Formel (15) geführt haben, so daß wir erhalten

$\frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}\left(Y_{a}N_{a}-Z_{a}M_{a}\right)d\omega\right]$ $+\int\frac{\varrho}{4\pi}\left(X_{a}+\frac{u_{y}}{c}N_{a}-\frac{u_{z}}{c}Ma\right)d\omega=0.$

Wir wollen nun annehmen, daß der Satz von der Erhaltung der Bewegungsgröße allgemein gelte. Dann muß der über die Systemhülle erstreckte Teil des zweiten Gliedes dieser Gleichung, als Differentialquotient nach der Zeit einer durch den Momentanzustand des Systems vollkommen bestimmten Größe G_x darstellbar sein, welche wir als die X-Komponente der Bewegungsgröße des Systems bezeichnen. Wir wollen nun das Transformationsgesetz der Größe G_x aufsuchen. Durch Anwendung der Transformationsgleichungen (1), (7), (8) und (9) erhalten wir auf ganz analogem Wege wie im vorigen Paragraphen die Beziehung

$\int dG_{x}=\beta\int\int\frac{\varrho'}{4\pi}\left(X'_{a}+\frac{u'_{y}}{c}N'_{a}-\frac{u'_{z}}{c}M'_{a}\right)d\omega'\cdot dt'$ $+\frac{\beta v}{c^{2}}\int\int\frac{\varrho'}{4\pi}\left(X_{a}u'_{x}+Y'_{a}u'_{y}-Z'_{a}u'_{z}\right)d\omega\cdot dt'$

oder

$dG_{x}=\beta\frac{v}{c^{2}}dE'+\beta\int\left\{ \Sigma K'_{x}\right\} dt'.$

(18)

Der Körper bewege sich wieder beschleunigungsfrei, derart, daß er dauernd in bezug auf S' ruht, dann ist wieder

ΣK'_x = 0

Trotzdem die Grenzen der Zeitintegration von x' abhängen, verschwindet wieder das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung, wenn der Körper vor und nach der betrachteten Veränderung äußeren Kräften nicht ausgesetzt ist; es ist dann [445]

$dG_{x}=\beta\frac{v}{c^{2}}dE'$

Hieraus folgt, daß die Bewegungsgröße eines äußeren Kräften nicht ausgesetzten Systems eine Funktion nur zweier Variabeln ist, nämlich der Energie E₀ des Systems in bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem und der Translationsgeschwindigkeit q desselben. Es ist

$\frac{\partial G}{\partial E_{0}}=\frac{\frac{q}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}.$

Hieraus folgt

$G=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\cdot\left(\frac{E_{0}}{c^{2}}+\psi(q)\right),$

wobei ψ(q) eine vorläufig unbekannte Funktion von q ist. Da ψ(q) nichts anderes ist als die Bewegungsgröße für den Fall, daß letztere durch die Geschwindigkeit allein bestimmt ist, schließen wir aus Formel (15b), daß

$\psi(q)=\frac{\mu q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}$

ist. Wir erhalten also

$G=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\left\{ \mu+\frac{E_{0}}{e^{2}}\right\}$

(18a)

Dieser Ausdruck unterscheidet sich von dem für die Bewegungsgröße des materiellen Punktes nur dadurch, daß an Stelle von μ die Größe $\left(\mu+\frac{E_{0}}{e^{2}}\right)$ tritt, im Einklang mit dem Resultat des vorigen Paragraphen.

Wir wollen nun Energie und Bewegungsgröße eines in bezug auf S ruhenden Körpers aufsuchen, für den Fall, daß der Körper dauernden äußeren Kräften unterworfen ist. In diesem Falle ist zwar auch für jedes t'

ΣK'_x = 0,

aber das in den Gleichungen (16) und (18) auftretende Integral

$\int\left[\Sigma K'_{x}\right]dt'$

verschwindet nicht, weil dasselbe nicht zwischen zwei bestimmten Werten von t', sondern von zwei bestimmten Werten von t zu erstrecken [446] ist. Da nach der Umkehrung der ersten der Gleichungen (1)

$t=\beta\left(t'+\frac{v}{c^{2}}x'\right),$

so sind die Grenzen für die Integration nach t' gegeben durch

$\frac{t_{1}}{\beta}-\frac{v}{c^{2}}x'$ und $\frac{t_{2}}{\beta}-\frac{v}{c^{2}}x',$

wobei t₁ und t₂ von x', y', z' unabhängig sind. Die Grenzen der Zeitintegration in bezug auf S' sind also von der Lage der Angriffspunkte der Kräfte abhängig. Wir zerlegen das obige Integral in drei Integrale:

$\int\left[\Sigma K'_{x}\right]dt'=\int\limits _{\frac{t_{1}}{\beta}-\frac{}{c^{2}}x'}^{\frac{t_{1}}{\beta}}+\int\limits _{\frac{t_{1}}{\beta}}^{\frac{t_{2}}{\beta}}+\int\limits _{\frac{t_{2}}{\beta}}^{\frac{t_{2}}{\beta}-\frac{vx'}{c^{2}}}$

Das zweite dieser Integrale verschwindet, weil es konstante Zeitgrenzen hat. Wenn ferner die Kräfte K'_x beliebig rasch veränderlich sind, können wir die beiden anderen Integrale nicht auswerten; dann können wir bei Anwendung der hier benutzten Grundlagen von einer Energie bzw. Bewegungsgröße des Systems überhaupt nicht reden.^[3] Falls sich aber jene Kräfte in Zeiten von der Größenordnung $\frac{vx'}{c^{2}}$ sehr wenig andern; so können wir setzen:

$\int\limits _{\frac{t_{1}}{}-\frac{vx'}{c^{2}}}^{\frac{t_{1}}{\beta}}\left(\Sigma K'_{x}\right)dt'=\Sigma K'_{x}\int\limits _{\frac{t_{1}}{\beta}-\frac{vx'}{c^{2}}}^{\frac{t_{1}}{\beta}}dt'=\frac{v}{c^{2}}\Sigma x'K'_{x}$

Nachdem das dritte Integral entsprechend ausgewertet ist, erhält man

$\int\left(\Sigma K'_{x}\right)dt'=-d\left\{ \frac{v}{c^{2}}\Sigma x'K'_{x}\right\}.$

Nun ist die Berechnung der Energie und der Bewegungsgröße aus den Gleichungen (16) und (18) ohne Schwierigkeit auszuführen. Man erhält

$E=\left(\mu+\frac{E_{0}}{c^{2}}\right)\frac{c^{2}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}-\frac{\frac{q^{2}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\Sigma\left(\delta_{0}K_{0\delta}\right)$

(16b)

[44]

$q=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\left(\mu+\frac{E_{0}-\Sigma\left(\delta_{0}K_{0\delta}\right)}{c^{2}}\right),$

(18b)

wobei K_0δ die in die Bewegungsrichtung fallende Komponente einer auf ein mitbewegtes Bezugssystem bezogenen Kraft, δ₀ den in demselben System gemessenen Abstand des Angriffspunktes jener Kraft von einer zur Bewegungsrichtung senkrechten Ebene bedeutet.

Besteht, wie wir im folgenden annehmen wollen, die äußere Kraft in einem von der Richtung unabhängigen, überall auf die Oberfläche des Systems senkrecht wirkenden Druck p₀, so ist im speziellen

$\Sigma\left(\delta_{0}K_{0\delta}\right)=-p_{0}V_{0},$

(19)

wobei V₀ das auf ein mitbewegtes Bezugssystem bezogene Volumen des Systems ist. Die Gleichungen (16b) und (18b) nehmen dann die Form an

$E=\left(\mu+\frac{E_{0}}{c^{2}}\right)\frac{c^{2}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}+\frac{\frac{q^{2}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}p_{0}V_{0}$

(16c)

$G=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\left(\mu+\frac{E_{0}-p_{0}V_{0}}{c^{2}}\right)$

(18c)

§ 13. Volumen und Druck eines bewegten Systems.
Bewegungsgleichungen.

Wir haben uns zur Bestimmung des Zustandes des betrachteten Systems der Größen E₀, p₀, V₀ bedient, welche mit Bezug auf ein mit dem physikalischen System bewegtes Bezugssystem definiert sind. Wir können uns aber statt der genannten auch der entsprechenden Größen bedienen, welche mit Bezug auf dasselbe Bezugssystem definiert sind, wie die Bewegungsgröße G Zu diesem Zweck müssen wir untersuchen, wie sich Volumen und Druck bei Einführung eines neuen Bezugssystems ändern.

Ein Körper ruhe in bezug auf das Bezugssystem S'. V' sei sein Volumen in bezug auf S', V sein Volumen in bezug auf S. Aus Gleichungen (2) folgt unmittelbar

$\int dx\cdot dy\cdot dz=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\int\ dx'\cdot dy'\cdot dz'$

oder [448]

$V=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\cdot V'.$

Ersetzt man gemäß der von uns benutzten Bezeichnungsweise V' durch V⁰ und v durch q, so hat man

$V=\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}\cdot V_{0}.$

(20)

Um ferner die Transformationsgleichung für die Druckkräfte zu ermitteln, müssen wir von den Transformationsgleichungen ausgehen, welche für Kräfte überhaupt gelten. Da wir ferner in § 8 die bewegenden Kräfte so definiert haben, daß sie durch die Kraftwirkungen elektromagnetischer Felder auf elektrische Massen ersetzt werden können, können wir uns hier darauf beschränken, die Transformationsgleichungen für letztere aufzusuchen.^[4]

Die Elektrizitätsmenge ε ruhe in bezug auf S'. Die auf dieselbe wirkende Kraft ist gemäß den Gleichungen (12) gegeben durch die Gleichungen:

$\begin{matrix} K_{x}= & \epsilon X & & K'_{x}= & \epsilon X'\\ \\K_{y}= & \epsilon\left(Y-\frac{v}{c}N\right) & & K'_{y}= & \epsilon Y'\\ \\K_{z}= & \epsilon\left(Z-\frac{v}{c}M\right) & & K'_{z}= & \epsilon Z'.\end{matrix}$

Aus diesen Gleichungen und den Gleichungen (7a) folgt:

$\left.\begin{matrix}K'_{x}= & K_{x}\\ \\K'_{y}= & \beta\cdot K_{y}\\ \\K'_{z}= & \beta\cdot K_{z}\end{matrix}\right\}$

(21)

Nach diesen Gleichungen lassen sich Kräfte berechnen, wenn sie in bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem bekannt sind.

Wir betrachten nun eine auf das relativ zu S' ruhende Flächenelement s' wirkende Druckkraft

$K'_{x}=p's'\cdot\cos l'=p'\cdot s'_{x}$

$K'_{y}=p'\cdot s'\cdot\cos m'=p'\cdot s'_{y}$

$K'_{z}=p'\cdot s'\cdot\cos n'=p'\cdot s'_{z},$

wobei l', m', n' die Richtungscosinus der (nach dem Innern des Körpers gerichteten) Normale, s_y', s_y', s_z' die Projektionen von s' bedeuten. Aus den Gleichungen (2) folgt, daß [449]

s'_x = s_x

s'_y = β · s_y

s'_z = β · s_z,

wobei s_x, s_y, s_z die Projektionen des Flächenelements in bezug auf S sind. Für die Komponenten K_x, K_y, K_z der betrachteten Druckkraft in bezug auf S erhält man also aus den letzten drei Gleichungssystemen

$K_{x}=K'_{x}=p'\cdot s'_{x}=p'\cdot s_{x}=p'\cdot s\ \cos l$ $K_{y}=\frac{1}{\beta}K'_{y}=\frac{1}{\beta}p'\cdot s'_{y}=p'\cdot s_{y}=p'\cdot s\ \cos m$ $K_{z}=\frac{1}{\beta}K'_{z}=\frac{1}{\beta}p'\cdot s'_{z}=p'\cdot s_{z}=p'\cdot s\ \cos n,$

wobei s die Größe des Flachenelements, l, m, n die Richtungscosinus von dessen Normale in bezug auf S bezeichnen. Wir erhalten also das Resultat, daß der Druck p' in bezug auf das mitbewegte System sich in bezug auf ein anderes Bezugssystem durch einen ebenfalls senkrecht auf das Flächenelement wirkenden Druck von gleicher Größe ersetzen läßt. In der von uns benutzten Bezeichnungweise ist also

p = p₀.

(22)

Die Gleichungen (16c), (20) und (22) setzen uns in den Stand, den Zustand eines physikalischen Systems statt durch die in bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem definierten Größen E₀, V₀, p₀ durch die Größen E, V, p zu bestimmen, welche in bezug auf dasselbe System definiert sind wie die Bewegungsgröße G und die Geschwindigkeit q des Systems. Falls z. B. der Zustand des betrachteten Systems für einen mitbewegten Beobachter durch zwei Variable (V₀ und E₀) vollkommen bestimmt ist, dessen Zustandsgleichung also als eine Beziehung zwischen p⁰, V₀ und E0 aufgefaßt werden kann, kann man mittels der genannten Gleichungen die Zustandsgleichung auf die Form

φ(q, p, V, E) = 0

bringen.

Formt man die Gleichung (18c) in entsprechender Weise um, so erhält man

$G=q\left\{ \mu+\frac{E+pV}{c^{2}}\right\} ,$

(18d)

welche Gleichung in Verbindung mit den das Prinzip von der Erhaltung der Bewegungsgröße ausdrückenden Gleichungen

$\frac{dG_{x}}{dt}=\Sigma K_{x}$ etc.

die Translationsbewegung des Systems als Ganzes vollkommen bestimmen, [450] wenn außer den Größen ΣK_x etc. auch E, p und V als Funktionen der Zeit bekannt sind, oder wenn statt der letzten drei Funktionen drei ihnen äquivalente Angaben über die Bedingungen vorliegen, unter denen die Bewegung des Systems vor sich gehen soll.

§ 14. Beispiele.

Das betrachtete System bestehe in elektromagnetischer Strahlung, welche in einen masselosen Hohlkörper eingeschlossen sei, dessen Wandung dem Strahlungsdruck das Gleichgewicht leiste. Wenn keine äußeren Kräfte auf den Hohlkörper wirken, so können wir auf das ganze System (den Hohlkörper inbegriffen) die Gleichungen (16a) und (18a) anwenden. Es ist also:

$E=\frac{E_{0}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}$

$G=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}E_{0}=q\frac{E}{c^{2}},$

wobei E₀ die Energie der Strahlung in bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem bedeutet.

Sind dagegen die Wandungen des Hohlkörpers vollkommen biegsam und dehnbar, so daß dem auf sie von innen ausgeübten Strahlungsdruck durch äußere Kräfte, welche von nicht zu dem betrachteten System gehörigen Körpern ausgehen, das Gleichgewicht geleistet werden muß, so sind die Gleichungen (16c) und (18c) anzuwenden, in welche der bekannte Wert des Strahlungsdruckes

$p_{0}=\frac{1}{3}\frac{E_{0}}{c^{2}}$

einzusetzen ist, so daß man erhält:

$E=\frac{E_{0}\left(1+\frac{1}{3}\frac{q^{2}}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}$

$G=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\frac{\frac{4}{3}E_{0}}{c^{2}}.$

Wir betrachten ferner den Fall eines elektrisch geladenen masselosen Körpers. Falls äußere Kräfte auf denselben nicht wirken, können [451] wir wieder die Formeln (16a) und (18a) anwenden. Bezeichnet E₀ die elektrische Energie in bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem, so hat man

$E=\frac{E_{0}}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}$

$G=\frac{q}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}}\frac{\frac{4}{3}E_{0}}{c^{2}}.$

Von diesen Werten entfällt ein Teil auf das elektromagnetische Feld, der Rest auf den masselosen, von seiten seiner Ladung Kräften unterworfenen Körper.^[5]

§ 15. Entropie und Temperatur bewegter Systeme.

Wir haben bisher von den Variabeln, welche den Zustand eines physikalischen Systems bestimmen, nur Druck, Volumen, Energie, Geschwindigkeit und Bewegungsgröße benutzt, von den thermischen Größen aber noch nicht gesprochen. Es geschah dies deshalb, weil es für die Bewegung eines Systems gleichgültig ist, welcher Art die ihm zugeführte Energie ist, so daß wir bisher keine Ursache hatten, zwischen Wärme und mechanischer Arbeit zu unterscheiden. Nun aber wollen wir noch die thermischen Größen einführen.

Der Zustand eines bewegten Systems sei durch die Größen q, V, E, vollkommen bestimmt. Für ein solches System haben wir offenbar als zugeführte Wärme dQ die gesamte Energiezunahme zu betrachten abzüglich der vom Drucke geleisteten und der auf Vergrößerung der Bewegungsgröße verwendeten Arbeit, so daß man hat

dQ = dE + pdV - qdQ.

(23)

Nachdem so die zugeführte Wärme für ein bewegtes System definiert ist, kann man durch Betrachtung von umkehrbaren Kreisprozessen die absolute Temperatur T und Entropie η des bewegten Systems in derselben Weise einführen, wie dies in den Lehrbüchen der Thermodynamik geschieht. Für umkehrbare Prozesse gilt auch hier die Gleichung

dQ = Tdη

(24)

Wir haben nun die Gleichungen abzuleiten, die zwischen den Größen dQ, η, T und den auf ein mitbewegtes Bezugssystem bezogenen entsprechenden Größen dQ₀, η₀, T₀ bestehen. Bezüglich der Entropie [452] wiederhole ich hier eine von Herrn Planck angegebene Überlegung^[6], indem ich bemerke, daß unter dem „gestrichene“ bezw. „ungestrichenem“ Bezugssystem das Bezugssystem S' bezw. S zu verstehen ist.

„Wir denken uns den Körper aus einem Zustand, in welchem er für das ungestrichene Bezugssystem ruht, durch irgendeinen reversiblen, adiabatischen Prozeß in einen zweiten Zustand gebracht, in welchem er für das gestrichene Bezugssystem ruht. Bezeichnet man die Entropie des Körpers für das ungestrichene System im Anfangszustand mit η₁, im Endzustand mit η₂, so ist wegen der Reversibilität und Adiabasie η₁ = η₂. Aber auch für das gestrichene Bezugssystem ist der Vorgang reversibel und adiabatisch, also haben wir ebenso η'₁ = η'₂.“

„Wäre nun η'₁ nicht gleich η₁, sondern etwa η'₁ > η₁, so würde das heißen: Die Entropie eines Körpers ist für das Bezugssystem, für welches er in Bewegung begriffen ist, größer als für dasjenige Bezugssystem, für welches er sich in Ruhe befindet. Dann müßte nach diesem Satze auch η₂ > η'₂ sein; denn im zweiten Zustand ruht der Körper für das gestrichene Bezugssystem, während er für das ungestrichene in Bewegung begriffen ist. Diese beiden Ungleichungen widersprechen aber den oben aufgestellten beiden_Gleichungen. Ebensowenig kann η'₁ > η₁, sein; folglich ist η'₁ = η₁, und allgemein η' = η, d. h. die Entropie des Körpers hängt nicht von der Wahl des Bezugssystems ab.“

Bei Anwendung der von uns benutzten Bezeichnungsweise haben wir also zu setzen:

η = η₀

(25)

Führen wir ferner auf der rechten Seite der Gleichung (23) mittels der Gleichungen (16c), (18c), (20) und (22) die Größen E₀, p₀ und V₀ ein, so erhalten wir

$dQ=\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}\left(dE_{0}+p_{0}dV_{0}\right)$

oder

$dQ=dQ_{0}\cdot\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}.$

(26)

Da ferner gemäß (24) die .beiden Gleichungen

dQ = Tdη dQ₀ = Tdη₀

gelten, so erhält man endlich mit Rücksicht auf (25) und (26) [453]

$\frac{T}{T_{0}}=\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}.$

Die Temperatur eines bewegten Systems ist also in bezug auf ein relativ zu ihm bewegtes Bezugssystem stets kleiner als in bezug auf ein relativ zu ihm ruhendes Bezugssystem.

§ 16. Dynamik der Systeme und Prinzip der kleinsten Wirkung.

Herr Planck geht in seiner Abhandlung „Zur Dynamik bewegter Systeme“ vom Prinzip der kleinsten Wirkung (und von den Transformationsgleichungen für Druck und Temperatur der Hohlraumstrahlung) aus^[7] und gelangt zu Resultaten, mit welchen die hier entwickelten übereinstimmen. Es erhebt sich daher die Frage, wie die Grundlagen seiner und der vorliegenden Untersuchung zusammenhängen.

Wir sind ausgegangen vom Energieprinzip und vom Prinzip von der Erhaltung der Bewegungsgröße. Nennen wir F_x, F_y, F_z, die Komponenten der Resultierenden der auf das System wirkenden Kräfte, so können wir die von uns benutzten Prinzipien für umkehrbare Prozesse und ein System, dessen Zustand durch die Variabeln q, V, T bestimmt ist, so formulieren:

dE = F_xdx + F_ydy + F_zdz - pdV + TdS

(28)

$F_{x}=\frac{dG_{x}}{dt} etc.$

(29)

Aus diesen Gleichungen erhalt man, wenn man beachtet, daß

$F_{x}dx=F_{x}\dot{x}dt=\dot{x}dG=d\left(\dot{x}G_{x}\right)-G_{x}d\dot{x}$ etc.

und

Tdη = d(Tη) - ηdT,

die Beziehung

$d(-E+T\eta+qG)=G_{x}d\dot{x}+G_{y}d\dot{y}+G_{z}d\dot{z}+pdV+\eta dT.$

Da auch die rechte Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential sein muß, so folgt unter Berücksichtigung von (29):

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial\dot{x}}\right)=F_{x}\quad\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial\dot{y}}\right)=F_{y}\quad\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial\dot{z}}\right)=F_{z}$ $\frac{\partial H}{\partial V}=p\quad\frac{\partial H}{\partial T}=\eta.$

Dies sind aber die mittels des Prinzips der kleinsten Wirkung ableitbaren Gleichungen, von denen Herr Planck ausgegangen ist. [454]

↑ Hier so wie im folgenden versehen wir ein Zeichen mit unteren Index „0“, um anzudeuten, daß die betreffende Größe sich auf ein relativ zu dem betrachteten physikalischen System ruhendes Bezugssystem bezieht. Da das betrachtete System relativ zu S' ruht, können wir also hier E' durch E₀ ersetzen.
↑ J. Precht, Ann. d. Phys. 21, 599, 1906.
↑ Vergl. A. Einstein, Ann. d. Phys. 23, § 2, 1907
↑ Durch diesen Umstand wird auch das in den vorhergehenden Untersuchungen benutzte Verfahren gerechtfertigt, welches darin bestand, daß wir einzig Wechselwirkung rein elektromagnetischer Art zwischen dem betrachteten System und seiner Umgebung einführten. Die Resultate gelten ganz allgemein.
↑ Vgl. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4) 23, 373-379, 1907.
↑ M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme. Sitzungsber. d. kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1907.
↑ M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme. Sitzungsber. d. kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1907.

[0] Hier so wie im folgenden versehen wir ein Zeichen mit unteren Index „0“, um anzudeuten, daß die betreffende Größe sich auf ein relativ zu dem betrachteten physikalischen System ruhendes Bezugssystem bezieht. Da das betrachtete System relativ zu S' ruht, können wir also hier E' durch E₀ ersetzen.

[1] J. Precht, Ann. d. Phys. 21, 599, 1906.

[2] Vergl. A. Einstein, Ann. d. Phys. 23, § 2, 1907

[3] Durch diesen Umstand wird auch das in den vorhergehenden Untersuchungen benutzte Verfahren gerechtfertigt, welches darin bestand, daß wir einzig Wechselwirkung rein elektromagnetischer Art zwischen dem betrachteten System und seiner Umgebung einführten. Die Resultate gelten ganz allgemein.

[4] Vgl. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4) 23, 373-379, 1907.

[5] M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme. Sitzungsber. d. kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1907.

[6] M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme. Sitzungsber. d. kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1907.

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NOTICE

Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/IV

Free texts and images.

Contents

IV. Zur Mechanik und Thermodynamik der Systeme.

§ 11. Über die Abhängigkeit der Masse von der Energie.

§ 12. Energie und Bewegungsgröße eines bewegten Systems.

§ 13. Volumen und Druck eines bewegten Systems.
Bewegungsgleichungen.

§ 14. Beispiele.

§ 15. Entropie und Temperatur bewegter Systeme.

§ 16. Dynamik der Systeme und Prinzip der kleinsten Wirkung.

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Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/IV

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§ 12. Energie und Bewegungsgröße eines bewegten Systems.

§ 13. Volumen und Druck eines bewegten Systems.Bewegungsgleichungen.

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Bewegungsgleichungen.