Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/V

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Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen ~ V. Relativitätsprinzip und Gravitation.
written by Albert Einstein 1907

Berichtigungen.

V. Relativitätsprinzip und Gravitation.

§ 17. Beschleunigtes Bezugssystem und Gravitationsfeld.

Bisher haben wir das Prinzip der Relativität, d. h. die Voraussetzung der Unabhängigkeit der Naturgesetze vom Bewegungszustande des Bezugssystems, nur auf beschleunigungsfreie Bezugssysteme angewendet. Ist es denkbar, daß das Prinzip der Relativität auch für Systeme gilt, welche relativ zueinander beschleunigt sind?

Es ist zwar hier nicht der Ort für die eingehende Behandlung dieser Frage. Da sich diese aber jedem aufdrängen muß, der die bisherigen Anwendungen des Relativitätsprinzips verfolgt hat, will ich es nicht unterlassen, zu der Frage hier Stellung zu nehmen.

Wir betrachten zwei Bewegungssysteme Σ₁ und Σ₂. Σ₁ sei in Richtung seiner X-Achse beschleunigt, und es sei γ die (zeitlich konstante) Größe dieser Beschleunigung. Σ₂ sei ruhend; es befinde sich aber in einem homogenen Gravitationsfelde, das allen Gegenständen die Beschleunigung -γ in Richtung der X-Achse erteilt.

Soweit wir wissen, unterscheiden sich die physikalischen Gesetze in bezug auf Σ₁ nicht von denjenigen in bezug auf Σ₂; es liegt dies daran, daß alle Körper im Gravitationsfelde gleich beschleunigt werden. Wir haben daher bei dem gegenwärtigen Stande unserer Erfahrung keinen Anlaß zu der Annahme, daß sich die Systeme Σ₁ und Σ₂ in irgendeiner Beziehung voneinander unterscheiden, und wollen daher im folgenden die völlige physikalische Gleichwertigkeit von Gravitationsfeld und entsprechender Beschleunigung des Bezugssystems annehmen.

Diese Annahme erweitert das Prinzip der Relativität auf den Fall der gleichförmig beschleunigten Translationsbewegung des Bezugssystems. Der heuristische Wert der Annahme liegt darin, daß sie ein homogenes Gravitationsfeld durch ein gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem zu ersetzen gestattet, welch letzterer Fall bis zu einem gewissen Grade der theoretischen Behandlung zugänglich ist.

§ 18. Raum und Zeit in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem.

Wir betrachten zunächst einen Körper, dessen einzelne materielle Punkte zu einer bestimmten Zeit t des beschleunigungsfreien Bezugssystems S, relativ zu S keine Geschwindigkeit, jedoch eine gewisse Beschleunigung besitzen. Was für einen Einfluß hat diese Beschleunigung γ auf die Gestalt des Körpers in bezug auf S?

Falls ein derartiger Einfluß vorhanden ist, wird er in einer Dilatation [455]] nach konstantem Verhältnis in der Beschleunigungsrichtung sowie eventuell in den beiden dazu senkrechten Richtungen bestehen; denn ein Einfluß anderer Art ist aus Symmetriegründen ausgeschlossen. Jene von der Beschleunigung herrührenden Dilatationen müssen (falls solche überhaupt existieren) gerade Funktionen von γ sein; sie können also vernachlässigt werden, wenn man sich auf den Fall beschränkt, daß γ so klein ist, daß Glieder zweiten und höheren Grades in γ vernachlässigt werden dürfen. Da wir uns im folgenden auf diesen Fall beschränken wollen, haben wir also einen Einfluß der Beschleunigung auf die Gestalt eines Körpers nicht anzunehmen.

Wir betrachten nun ein relativ zu dem beschleunigungsfreien Bezugssystem S in Richtung von dessen X-Achse gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem Σ. Uhren bezw. Maßstab von Σ seien, ruhend untersucht, gleich den Uhren bezw. dem Maßstab von S. Der Koordinatenanfang von Σ bewege sich auf der X-Achse von S, und die Achsen von E seien denen von S dauernd parallel. Es existiert in jedem Augenblick ein unbeschleunigtes Bezugssystem S', dessen Koordinatenachsen in dem betreffenden Augenblick (zu einer bestimmten Zeit t' von S' mit den Koordinatenachsen von Σ zusammen fallen. Besitzt ein Punktereignis, welches zu dieser Zeit t' statfindet, in bezug auf Σ die Koordinaten ξ, η, ζ, so ist

$\left.\begin{matrix} x'=\xi\\ y'=\eta\\ z'=\zeta\end{matrix}\right\},$

weil ein Einfluß der Beschleunigung auf die Gestalt der zur Messung von ξ, η, ζ benutzten Meßkörper nach dem Obigen nicht anzunehmen ist. Wir wollen uns ferner vorstellen, daß die Uhren von Σ zu dieser Zeit t' von S' so gerichtet werden, daß ihre Angabe in diesem Augenblick gleich t' ist. Wie steht es mit dem Gang der Uhren in dem nächsten Zeitteilchen τ?

Zunächst haben wir zu berücksichtigen, daß ein spezifischer Einfluß der Beschleunigung auf den Gang der Uhren von Σ nicht in Betracht fällt, da dieser von der Ordnung γ² sein müßte. Da ferner der Einfluß der während τ erlangten Geschwindigkeit auf den Gang der Uhren zu vernachlässigen ist, und ebenso die während der Zeit τ von den Uhren relativ zu denen von S' zurückgelegten Wege von der Ordnung τ², also zu vernachlässigen sind, so sind für das Zeitelement τ die Angaben der Uhren von Σ durch die Angaben der Uhren von S' vollkommen nutzbar.

Aus dem Vorangehenden folgt, daß sich das Licht im Vakuum [456] relativ zu Σ im Zeitelement τ mit d.er universellen Geschwindigkeit c fortpflanzt, falls wir die Gleichzeitigkeit in dem relativ zu Σ momentan ruhenden System S' definieren, und zur Zeit- bzw. Längenmessung Uhren bzw. Maßstäbe verwenden, welche jenen gleich sind, die in unbeschleunigten Systemen zur Ausmessung von Zeit und Raum benutzt werden. Das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit läßt sich also auch hier zur Definition der Gleichzeitigkeit verwenden, falls man sich auf sehr kleine Lichtwege beschränkt.

Wir denken uns nun die Uhren von Σ in der angegebenen Weise zu derjenigen Zeit t = 0 von S gerichtet, in welcher Σ relativ zu S momentan ruht. Der Inbegriff der Angaben der so gerichteten Uhren von Σ werde die „Ortszeit“ σ des Systems Σ genannt. Die physikalische Bedeutung der Ortszeit σ ist, wie man unmittelbar erkennt, die folgende. Bedient man sich zur zeitlichen Wertung der in den einzelnen Raumelementen von Σ stattfindenden Vorgänge jener Ortszeit σ, so können die Gesetze, denen jene Vorgänge gehorchen, nicht von der Lage des betreffenden Raumelementes, d. h. von dessen Koordinaten, abhängen, falls man sich in den verschiedenen Raumelementen nicht nur gleichen Uhren, sondern auch sonst gleicher Meßmittel bedient.

Dagegen dürfen wir nicht die Lokalzeit σ als die „Zeit“ von Σ schlechthin bezeichnen, und zwar deshalb, weil zwei in verschiedenen Punkten von Σ stattfindende Punktereignisse nicht dann im Sinne unserer obigen Definition gleichzeitig sind, wenn ihre Lokalzeiten σ einander gleich sind. Da nämlich irgend zwei Uhren von Σ zur Zeit t = 0 in bezug auf S synchron sind und den nämlichen Bewegungen unterworfen werden, so bleiben sie dauernd in bezug auf S synchron. Aus diesem Grunde laufen sie aber gemäß § 4 in bezug auf ein momentan relativ zu Σ ruhendes, in bezug auf S bewegtes Bezugssystem S' nicht synchron, also gemäß unserer Definition auch nicht in bezug auf Σ.

Wir definieren nun die „Zeit“ τ des Systems Σ als den Inbegriff derjenigen Angaben der im Koordinatenanfangspunkt von Σ befindlichen Uhr, welche mit den zeitlich zu wertenden Ereignissen im Sinne der obigen Definition gleichzeitig sind.^[1]

Wir wollen jetzt die Beziehung aufsuchen, welche zwischen der Zeit τ und der Ortszeit σ eines Punktereignisses besteht. Aus der ersten der Gleichungen (1) folgt, daß zwei Ereignisse in bezug auf S', also auch in bezug auf Σ gleichzeitig sind, wenn [457]

$t_{1}-\frac{v}{c^{2}}x_{1}=t_{2}-\frac{v}{c^{2}}x_{2},$

wobei die Indizes die Zugehörigkeit zu dem einen bzw. andern Punktereignis andeuten soll. Wir beschränken uns nun zunächst auf die Betrachtung so kurzer Zeiten^[2], daß alle Glieder, welche die zweite oder eine höhere Potenz von τ oder v enthalten, weggelassen werden dürfen; dann haben wir mit Rücksicht auf (1) und (29) zu setzen:

x₂ - x₁ = x'₂ - x'₁ = ξ₂ - ξ₁ t₁ = σ₁ t₂ = σ₁ v = γt = γτ,

so daß wir aus obiger Gleichung erhalten:

$\sigma_{2}-\sigma_{1}=\frac{\gamma\tau}{c^{2}}\left(\xi_{2}-\xi_{1}\right).$

Verlegen wir das erste Punktereignis in den Koordinatenanfang, so daß σ₁ = τ und ξ₁ = 0, so erhalten wir unter Weglassung des Index für das zweite Punktereignis

$\sigma=\tau\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right).$

(30)

Diese Gleichung gilt zunächst, wenn τ und ξ unterhalb gewisser Grenzen liegen. Sie gilt offenbar für beliebig große τ, falls die Beschleunigung γ mit Bezug auf Σ konstant ist, weil die Beziehung zwischen σ und τ dann linear sein muß. Für beliebig große ξ gilt Gleichung (30) nicht. Daraus, daß die Wahl des Koordinatenanfangspunktes auf die Relation nicht von Einfluß sein darf, schließt man nämlich, daß die Gleichung (30) genau genommen durch die Gleichung

$\sigma=\tau e^{\frac{\gamma\xi}{c^{2}}}$

ersetzt werden müßte. Wir wollen jedoch an der Formel (30) festhalten.

Gleichung (30) ist nach § 17 auch auf ein Koordinatensytem anzuwenden, in dem ein homogenes Schwerfeld wirkt. In diesem Falle haben wir Φ = γξ zu setzen, wobei Φ das Potential der Schwerkraft bedeutet, so daß wir erhalten

$\sigma=\tau\left(1+\frac{\Phi}{c^{2}}\right)$

(30a)

Wir haben zweierlei Zeiten für Σ definiert. Welcher von beiden Definitionen haben wir uns für die verschiedenen Fälle zu bedienen? Nehmen wir an, es existiere an zwei Orten verschiedenen Gravitationspotentials [458] (γ ξ) je ein physikalisches System, und wir wollen ihre physikalischen Größen vergleichen. Zu diesem Zwecke werden wir wohl am natürlichsten folgendermaßen vorgehen: Wir begeben uns mit unseren Meßmitteln zuerst zu dem ersten physikalischen System und führen dort unsere Messungen aus; hierauf begeben wir uns samt unsern Meßmitteln nach dem zweiten System, um hier die gleichen Messungen auszuführen, Ergeben die Messungen da und dort die gleichen Resultate, so werden wir die beiden physikalischen Systeme als „gleich“ bezeichnen. Unter den genannten Meßmitteln befindet sich eine Uhr, mit welcher wir Lokalzeiten σ messen. Daraus folgt, daß wir uns zum Definieren der physikalischen Größen an einem Orte des Schwerfeldes naturgemäß der Zeit σ bedienen.

Handelt es sich aber um ein Phänomen, bei welchem an Orten verschiedenen Gravitationspotentials befindliche Gegenstände gleichzeitig berücksichtigt werden müssen, so haben wir uns bei den Gliedern, in welchen die Zeit explizite (d. h. nicht nur bei der Definition physikalischer Größen) vorkommt, der Zeit τ zu bedienen, da sonst die Gleichzeitigkeit der Ereignisse nicht durch die Gleichheit der Zeitwerte beider Ereignisse ausgedrückt würde. Da bei der Definition der Zeit τ nicht ein willkürlich gewählter Zeitpunkt, wohl aber eine an einem willkürlich gewählten Orte befindliche Uhr benutzt ist, so können bei Benutzung der Zeit τ die Naturgesetze nicht mit der Zeit, wohl aber mit dem Orte variieren.

§ 19. Einfluß des Gravitationsfeldes auf Uhren.

Befindet sich in einem Punkte P vom Gravitationspotential Φ eine Uhr, welche die Ortszeit angibt, so sind gemäß (30a) ihre Angaben $\left(1+\frac{\Phi}{c^{2}}\right)$ mal größer als die Zeit τ, d. h. sie läuft $\left(1+\frac{\Phi}{c^{2}}\right)$ mal schneller als eine gleich beschaffene, im Koordinatenanfangspunkt befindliche Uhr. Ein irgendwo im Raume befindlicher Beobachter nehme die Angaben dieser beiden Uhren irgendwie, z. B. auf optischem Wege, wahr. Da die Zeit Δτ, welche zwischen dem Zeitpunkt einer Angabe einer der Uhren und der Wahrnehmung dieser Angabe durch den Beobachter verstreicht, von τ unabhängig ist, so läuft die Uhr in P für einen irgendwo im Raume befindlichen Beobachter $\left(1+\frac{\Phi}{c^{2}}\right)$ mal schneller als die Uhr im Koordinatenanfangspunkt. In diesem Sinne können wir sagen, daß der in der Uhr sich abspielende Vorgang — und allgemeiner jeder physikalische Prozeß —— desto schneller abläuft, [459] je größer das Gravitationspotential des Ortes ist, an dem er sich abspielt.

Es gibt nun „Uhren“, welche an Orten verschiedenen Gravitationspotentials vorhanden sind und deren Ganggeschwindigkeit sehr genau kontrolliert werden kann; es sind dies die Erzeuger der Spektrallinien. Aus dem Obigen schließt man^[3], daß von der Sonnenoberfläche kommendes Licht, welches von einem solchen Erzeuger herrührt, eine um etwa zwei Millionstel größere Wellenlänge besitzt, als das von gleichen Stoffen auf der Erde erzeugte Licht.

§ 20. Einfluß der Schwere auf die elektromagnetischen Vorgänge.

Beziehen wir einen elektromagnetischen Vorgang in einem Zeitpunkt auf ein beschleunigungsfreies Bezugssystem S', das momentan relativ zu dem wie oben beschleunigten Bezugssystem Σ ruht, so gelten gemäß (5) und (6) die Gleichungen

$\frac{1}{c}\left(\varrho'u'_{x}+\frac{\partial X'}{\partial t'}\right)=\frac{\partial N'}{\partial y'}-\frac{\partial M'}{\partial z'} etc.$

und

$\frac{1}{c}\frac{\partial L'}{\partial t'}=\frac{\partial Y'}{\partial z'}-\frac{\partial Z'}{\partial y'} etc.$

Nach dem Obigen können wir die auf S' bezogenen Größen $\varrho'$ , u', X' , L', x', etc. den entsprechenden auf Σ bezogenen Größen $\varrho$ , u, X , L, ξ, etc. ohne weiteres gleichsetzen, falls wir uns auf eine unendlich kurze Zeit beschränken^[4], welche der Zeit der relativen Ruhe von S' und Σ unendlich nahe liegt. Ferner haben wir t' durch die Lokalzeit σ zu ersetzen. Dagegen dürfen wir nicht einfach

$\frac{\partial}{\partial t'}=\frac{\partial}{\partial\sigma}$

setzen, und zwar deshalb, weil ein in bezug auf Σ ruhender Punkt, auf den sich die auf Σ transformierten Gleichungen beziehen sollen, relativ zu S' während des Zeitteilchens dt' = dσ seine Geschwindigkeit ändert, welcher Änderung gemäß den Gleichungen (7a) und (7b) eine zeitliche Änderung der auf Σ bezogenen Feldkomponenten entspricht. Wir haben daher zu setzen: [460]

$\begin{matrix} \frac{\partial X'}{\partial t'}= & \frac{\partial X}{\partial\sigma} & & \frac{\partial L'}{\partial t'}= & \frac{\partial L}{\partial\sigma}\\ \\\frac{\partial Y'}{\partial t'}= & \frac{\partial Y}{\partial\sigma}+\frac{\gamma}{c}N & & \frac{\partial M'}{\partial t'}= & \frac{\partial M}{\partial\sigma}-\frac{\gamma}{c}Z\\ \\\frac{\partial Z'}{\partial t'}= & \frac{\partial Z}{\partial\sigma}-\frac{\gamma}{c}M & & \frac{\partial N'}{\partial t'}= & \frac{\partial N}{\partial\sigma}+\frac{\gamma}{c}Y.\end{matrix}$

Die auf Σ bezogenen elektromagnetischen Gleichungen lauten also zunächst

$\begin{matrix} \frac{1}{c}\left(\varrho u_{\xi}+\frac{\partial X}{\partial\sigma}\right) & =\frac{\partial N}{\partial\eta}-\frac{\partial M}{\partial\zeta}\\ \\\frac{1}{c}\left(\varrho u_{\eta}+\frac{\partial Y}{\partial\sigma}+\frac{\gamma}{c}N\right) & =\frac{\partial L}{\partial\zeta}-\frac{\partial N}{\partial\xi}\\ \\\frac{1}{c}\left(\varrho u_{\xi}+\frac{\partial Z}{\partial\sigma}-\frac{\gamma}{c}M\right) & =\frac{\partial M}{\partial\xi}-\frac{\partial L}{\partial\eta}\end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{1}{c}\frac{\partial L}{\partial\sigma} & =\frac{\partial Y}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z}{\partial\eta}\\ \\\frac{1}{c}\left(\frac{\partial M}{\partial\sigma}-\frac{\gamma}{c}Z\right) & =\frac{\partial Z}{\partial\xi}-\frac{\partial X}{\partial\zeta}\\ \\\frac{1}{c}\left(\frac{\partial N}{\partial\sigma}-\frac{\gamma}{c}Y\right) & =\frac{\partial X}{\partial\eta}-\frac{\partial Y}{\partial\xi}\end{matrix}$

Diese Gleichungen multiplizieren wir mit $\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)$ und setzen zur Abkürzung

$X^{*}=X\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right),\ Y^{*}=Y\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)$ $\varrho^{*}=\varrho\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)$

Wir erhalten dann, indem wir Glieder zweiten Grades in γ vernachlässigen, die Gleichungen:

$\left.\begin{matrix} \frac{1}{c}\left(\varrho^{*}u_{\xi}+\frac{\partial X^{*}}{\partial\sigma}\right) & =\frac{\partial N^{*}}{\partial\eta}-\frac{\partial M^{*}}{\partial\zeta}\\ \\\frac{1}{c}\left(\varrho^{*}u_{\eta}+\frac{\partial Y^{*}}{\partial\sigma}\right) & =\frac{\partial L^{*}}{\partial\zeta}-\frac{\partial N^{*}}{\partial\xi}\\ \\\frac{1}{c}\left(\varrho^{*}u_{\zeta}+\frac{\partial Z^{*}}{\partial\sigma}\right) & =\frac{\partial M^{*}}{\partial\xi}-\frac{\partial L^{*}}{\partial\eta}\end{matrix}\right\}$

(31a)

$\left.\begin{matrix} \frac{1}{c}\frac{\partial L^{*}}{\partial\sigma} & =\frac{\partial Y^{*}}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z^{*}}{\partial\eta}\\ \\\frac{1}{c}\left(\frac{\partial M^{*}}{\partial\sigma}\right) & =\frac{\partial Z^{*}}{\partial\xi}-\frac{\partial X^{*}}{\partial\zeta}\\ \\\frac{1}{c}\left(\frac{\partial N^{*}}{\partial\sigma}\right) & =\frac{\partial X^{*}}{\partial\eta}-\frac{\partial Y^{*}}{\partial\xi}\end{matrix}\right\}$

(32a)

[461] Aus diesen Gleichungen ersieht man zunächst, wie das Gravitationsfeld die statischen und stationären Erscheinungen beeinflußt. Die geltenden Gesetzmäßigkeiten sind dieselben wie im gravitationsfreien Felde; nur sind die Feldkomponenten X etc. durch $X\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)$ und $\varrho$ durch $\varrho\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)$ ersetzt.

Um ferner den Verlauf nichtstationärer Zustände zu übersehen, bedienen wir uns der Zeit τ sowohl bei den nach der Zeit differenzierten Gliedern als auch für die Definition der Geschwindigkeit der Elektrizität, d. h. wir setzen gemäß (30)

$\frac{\partial}{\partial\tau}=\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)\frac{\partial}{\partial\tau}$

und

$w_{\xi}=\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right).$

Wir erhalten so

$\frac{1}{c\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)}\left(\varrho^{*}w_{\xi}+\frac{\partial X^{*}}{\partial\tau}\right)=\frac{\partial N^{*}}{\partial\eta}-\frac{\partial M^{*}}{\partial\zeta}$ etc.

(31b)

und

$\frac{1}{c\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)}\frac{\partial L^{*}}{\partial\tau}=\frac{\partial Y^{*}}{\partial\zeta}=\frac{\partial Z^{*}}{\partial\eta}$ etc.

(32b)

Auch diese Gleichungen sind von derselben Form wie die entsprechenden des beschleunigungs- bzw. gravitationsfreien Raumes; hier tritt aber an die Stelle von c der Wert

$c\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)=c\left(1+\frac{\Phi}{c^{2}}\right).$

Es folgt hieraus, daß die Lichtstrahlen, welche nicht in der ξ-Achse verlaufen, durch das Gravitationsfeld gekrümmt werden; die Richtungsänderung beträgt, wie leicht zu ersehen, pro Zentimeter Lichtweg $\frac{\gamma}{c^{2}}\sin\varphi$ , wobei φ den Winkel zwischen der Richtung der Schwerkraft und der des Lichtstrahles bedeutet.

Mittels dieser Gleichungen und den aus der Optik ruhender Körper bekannten Gleichungen zwischen Feldstärke und elektrischer Strömung an einem Orte läßt sich der Einfluß des Gravitationsfeldes auf die optischen Erscheinungen bei ruhenden Körpern ermitteln. Es ist hierbei zu berücksichtigen, daß jene Gleichungen aus der Optik ruhender Körper für die Lokalzeit σ gelten. Leider ist der Einfluß des irdischen Schwerefeldes nach unserer Theorie ein so geringer (wegen der Kleinheit [462] von $\frac{\gamma x}{c^{2}}$ ), daß eine Aussicht auf Vergleichung der Resultate der Theorie mit der Erfahrung nicht besteht.

Multiplizieren wir die Gleichungen (31a) und (32 a) der Reihe nach mit $\frac{X^{*}}{4\pi}\dots\frac{N^{*}}{4\pi}$ und integrieren über den unendlichen Raum, so erhalten wir bei Benutzung unserer früheren Bezeichnungsweise:

$\int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)^{2}\frac{\varrho}{4\pi}\left(u\ X+u_{\eta}\ Y+u\ Z\right)d\omega$ $+\int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{8\pi}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(X^{2}+Y^{2}\dots+N^{2}\right)d\omega=0.$

$\frac{\varrho}{4\pi}\left(u\ X+u_{\eta}\ Y+u\ Z\right)$ ist die der Materie pro Volumeneinheit und Einheit der Lokalzeit σ zugeführte Energie η_σ, falls diese Energie mittels an der betreffenden Stelle befindlicher Meßmittel gemessen wird. Folglich ist gemäß (30) $\eta_{\tau}=\eta^{\sigma}\left(1-\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)$ die der Materie pre Volumeneinheit und Einheit der Zeit τ zugeführte (ebenso gemessene) Energie. $\frac{1}{8\pi}\left(X^{2}+Y^{2}\dots+N^{2}\right)$ ist die elektromagnetische Energie ε pro Volumeneinheit — ebenso gemessen. Berücksichtigen wir ferner, daß gemäß (30) $\frac{\partial}{\partial\sigma}=\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)\frac{\partial}{\partial\tau}$ zu setzen ist, so erhalten wir

$\int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)\eta_{\tau}d\omega+\frac{d}{d\tau}\left\{ \int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^{2}}\right)\epsilon\ d\omega\right\} =0$

Diese Gleichung drückt das Prinzip von der Erhaltung der Energie aus und enthält ein sehr bemerkenswertes Resultat. Eine Energie bzw. eine Energiezufuhr, welche — an Ort und Stelle gemessen — den Wert E = ε dω bezw. E = η dω dτ hat, liefert zum Energieintegral außer dem ihrer Größe entsprechenden Wert E noch einen ihrer Lage entsprechenden Wert $\frac{E}{c^{2}}\gamma\xi=\frac{E}{c^{2}}\Phi$ Jeglicher Energie E kommt also im Gravitationsfelde eine Energie der Lage zu, die ebenso groß ist, wie die Energie der Lage einer „ponderabeln“ Masse von der Größe $\frac{E}{c^{2}}$ .

Der im § 11 abgeleitete Satz, daß einer Energiemenge eine Masse von der Größe $\frac{E}{c^{2}}$ zukomme, gilt also, falls die im § 17 eingeführte Voraussetzung zutrifft, nicht nur für die träge, sondern auch für die gravitierende Masse.

(Eingegangen 4. Dezember 1907.)

↑ Das Zeichen „τ“ ist also hier in einem anderen Sinne verwendet als oben.
↑ Hierdurch wird gemäß (1) auch eine gewisse Beschränkung in bezug auf die Werte von ξ = x angenommen.
↑ Indem man voraussetzt, daß Gleichung, (30a) auch für ein nicht-homogenes Gravitationsfeld gelte.
↑ Diese Beschränkung beeinträchtigt den Gültigkeitsbereich unserer Resultate nicht, da die abzuleitenden Gesetze der Natur der Sache nach von der Zeit nicht abhängen können.

[0] Das Zeichen „τ“ ist also hier in einem anderen Sinne verwendet als oben.

[1] Hierdurch wird gemäß (1) auch eine gewisse Beschränkung in bezug auf die Werte von ξ = x angenommen.

[2] Indem man voraussetzt, daß Gleichung, (30a) auch für ein nicht-homogenes Gravitationsfeld gelte.

[3] Diese Beschränkung beeinträchtigt den Gültigkeitsbereich unserer Resultate nicht, da die abzuleitenden Gesetze der Natur der Sache nach von der Zeit nicht abhängen können.

[1]

[2]

[3]

[4]

NOTICE

Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen/V

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Contents

V. Relativitätsprinzip und Gravitation.

§ 17. Beschleunigtes Bezugssystem und Gravitationsfeld.

§ 18. Raum und Zeit in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem.

§ 19. Einfluß des Gravitationsfeldes auf Uhren.

§ 20. Einfluß der Schwere auf die elektromagnetischen Vorgänge.

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