Vorlesungen über algebraische Geometrie (Severi)/2/2

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Vorlesungen über algebraische Geometrie ~ Zweites Kapitel. Rationale und birationale Transformationen.
§ 2. Auflösung der Singularitäten einer ebenen algebraischen Kurve.
written by Francesco Severi

II, § 3

Quelle: Vorlesungen über algebraische Geometrie: Geometrie auf einer Kurve, Riemannsche Flächen, Abelsche Integrale. Berechtigte deutsche Übersetzung, von dr. Eugen Löffler, Mit einem Einführungswort von A. Brill und 20 Figuren. Berlin-Leipzig, B. G. Teubner, 1921.

17. Auflösung der Singularitäten einer ebenen algebraischen Kurve mit Hilfe einer Reihe von aufeinander folgenden quadratischen Transformationen. Unendlich benachbarte Singularitäten. Wir fassen noch einmal die in der Ebene $π$ gelegene algebraische Kurve $C$ von der Ordnung $n$ ins Auge und untersuchen, welche Wirkung eine allgemeine quadratische Transformation, die in dem $s$ -fachen Punkt $O$ der Kurve $C$ einen Fundamentalpunkt hat, auf eben diesen Punkt ausübt. Wie in der vorhergehenden Nummer bezeichnen wir mit $P$ und $Q$ die beiden anderen Fundamentalpunkte der Transformation, die der Ebene $π$ angehören, und mit $O', P', Q'$ die Fundamentalpunkte, die in der Ebene $π'$ der transformierten Kurve $C'$ liegen; den Punkten der unmittelbaren Umgebung von $O$ entsprechen also die Punkte der Fundamentalgeraden $P' Q'$ , den Punkten in der Umgebung von $P$ entsprechen diejenigen der Fundamentalgeraden $Q' O'$ usw.

Es seien $o_1, o_2, \dots, o_l$ ( $l \leq s$ ) die voneinander verschiedenen Tangenten der Kurve $C$ im Punkt $O$ . Diesen Geraden entsprechen $l$ Punkte $O_1', O_2', \dots, O_l'$ auf der Geraden $P' Q'$ , die unter sich und von $P'$ und $Q'$ verschieden sind; und ebenso wie die Tangenten $o i$ den von den beiden Fundamentalgeraden $O P$ und $O Q$ verschiedenen Richtungen entsprechen, in denen die Kurve $C$ durch $O$ hindurchgeht, so ergeben die Punkte $O i'$ die von $Q'$ und $P'$ verschiedenen Schnittpunkte der Kurve $C'$ mit der Fundamentalgeraden $P' Q'$ .

Fassen wir dies etwas genauer! Wenn die Tangente $o i$ in der Gesamtheit der $s$ Tangenten der Kurve $C$ im Punkt $O$ $τ i$ -mal zu zahlen ist, d. h. wenn in der Gleichung vom Grad $s$ , welche die Tangenten der Kurve $C$ im Punkt $O$ liefert, die jener Tangente entsprechende Wurzel $τ i$ -fach zu rechnen ist, so daß $\scriptstyle \sum \limits_{i=1}^l \tau_i = s$ ist, so zählt der Punkt $O i'$ $τ i$ -mal unter den Schnittpunkten der Kurve $C'$ mit der Geraden $P' Q'$ . Bezeichnen wir die Vielfachheit des Punktes $O i'$ für die Kurve $C'$ mit $s i$ , so haben wir jedenfalls

$s_i\leq \tau_i$

und also auch

$\sum \limits_{i=1}^l s_i\leq s$ .

Diese Ungleichung ist schon von einer gewissen Bedeutung, denn sie lehrt uns folgendes: Wenn $l > 1$ ist, d. h. wenn die Kurve $C$ in $O$ mindestens zwei voneinander getrennte Tangenten hat, so löst die vorliegende quadratische Transformation den $s$ -fachen Punkt $O$ in mehrere Punkte auf deren Multiplizitäten für die transformierte Kurve $C'$ kleiner sind als $s$ .

Man erkennt, daß unter allen Umständen die vorliegende allgemeine quadratische Transformation die Kurve $C$ derart in die Kurve $C'$ überführt, daß die Multiplizitäten der nicht auf den Fundamentalgeraden liegenden Punkte ungeändert bleiben, daß drei gewöhnliche mehrfache Punkte eingeführt werden, und daß der Punkt $O$ durch einen Punkt von derselben Multiplizität oder durch mehrere Punkte von geringerer Multiplizität ersetzt wird.

Man wendet nun auf die Kurve $C'$ dasselbe Verfahren an wie auf die Kurve $C$ , indem man in den Punkt $O i'$ einen Fundamentalpunkt einer allgemeinen quadratischen Transformation legt. Der Punkt $O i'$ wird dann durch einen oder mehrere Punkte $O_{i,1}'', O_{i,2}'', \dots$ der transformierten Kurve $C''$ ersetzt, und außerdem besitzt jeder dieser Punkte $O''$ , falls mindestens zwei davon vorhanden sind, für die Kurve $C''$ eine Multiplizität, die kleiner ist als $s i$ . Wir bezeichnen die Multiplizitaten dieser Punkte $O_{i,1}'', O_{i,2}'', \dots$ für die Kurve $C''$ mit $s_{i,1}, s_{i,2}, \dots$ und fahren in dieser Weise fort.

Nach einer Reihe von quadratischen Transformationen werden jedenfalls die ursprüngliche Kurve $C$ und die zuletzt erhaltene Kurve einander zugeordnet sein durch eine birationale Transformation zwischen ihren beiden Ebenen, die das Produkt der aufeinander folgenden quadratischen Transformationen ist. Diese Transformation kann zwar einen vielfachen Punkt von $C$ in mehrere Punkte von geringerer Multiplizität auflösen, sie führt aber an neuen vielfachen Punkten nur solche ein, deren Tangenten alle voneinander verschieden sind.

An die vorhergehenden Untersuchungen schließt sich der Begriff der Zusammensetzung eines mehrfachen Punktes einer algebraischen Kurve aus Zweigen mit unendlich benachbarten Singularitäten; diesen wichtigen und fruchtbaren Begriff verdankt man M. Noether^[1].

Kehren wir zu der ersten quadratischen Transformation zurück, welche die Kurve $C$ in $C'$ und den Punkt $O$ in die Punkte $O_1', O_2', \dots, O_l'$ überführte. Wir unterwerfen die Kurve $C$ einer kleinen Drehung um den Punkt $O'$ und bezeichnen mit $\overline{C}$ diejenige Kurve der Ebene $π$ , welche der Kurve $C'$ in der neuen Lage entspricht. Die Kurve $\overline{C}$ wird von der Ordnung $2(2 n - s) - n = 3 n - 2 s$ sein und wird im Punkt $O$ einen gewöhnlichen $(2 n - s)$ -fachen Punkt besitzen, weil $C'$ in der neuen Lage von der Geraden $P' Q'$ in $2 n - s$ einfachen, voneinander verschiedenen Punkten getroffen wird. Außerdem besitzt die Kurve $C'$ nach der Drehung zwei gewöhnliche $(n - s)$ -fache Punkte, die von denjenigen Punkten herrühren, die ursprünglich mit $P'$ und $Q'$ zusammenfielen, und $l$ Punkte mit den Multiplizitäten $s_1, s_2, \dots, s_l$ , welche von denjenigen herrühren, die ursprünglich in $O_1', O_2', \dots, O_l'$ lagen. Diesen letzteren entsprechen Punkte, welche in bezug auf die Kurve $\overline{C}$ die gleiche Vielfachheit haben wie sie selbst in bezug auf $C'$ . Wenn nun $C'$ wieder in ihre alte Lage zurückkehrt, so zerfällt $\overline{C}$ in die Geraden $O P$ und $O Q$ , deren jede $(n - s)$ -mal zu zählen ist, und in die ursprüngliche Kurve $C$ . Diese erhält wiederum den $s$ -fachen Punkt $O$ , dem sich $l$ Punkte mit den Multiplizitäten $s_1, s_2, \dots, s_l$ unbegrenzt genähert haben. Dieselbe Überlegung läßt sich für die Kurve $C'$ in bezug auf einen der vielfachen Punkte $O i'$ wiederholen und man sieht leicht, wie das Verfahren fortzusetzen ist.

Diese Tatsachen lassen sich in folgender Form ausdrücken, durch welche die Zusammensetzung des vielfachen Punktes klar veranschaulicht wird: Der vielfache Punkt $O$ seiet sich zusammen aus einem $s$ -fachen Punkt, dem in der Umgebung erster Ordnung die $s i$ -fachen Punkte $O i$ ( $i=1,2, \dots, l$ ), in der Umgebung zweiter Ordnung die $s i, k$ -fachen Punkte $O i, k$ ( $i,k=1,2, \dots$ ), usw. unendlich benachbart sind.

Die aufeinander folgenden quadratischen Transformationen haben im wesentlichen keinen anderen Zweck als den, die Umgebung erster Ordnung des Punktes $O$ durch die Punkte einer Fundamentalgeraden, die Umgebung zweiter Ordnung durch die Umgebungen erster Ordnung der Punkte dieser Geraden zu ersetzen; eine endliche Anzahl dieser letzteren Umgebungen erster Ordnung wird nacheinander durch ebenso viele Geraden ersetzt usw. Auf diese Weise erscheint die Singularität, die sich aus der Gesamtheit der verschiedenen unendlich benachbarten Singularitäten ergibt, zerlegt oder aufgelöst.

Aus der geometrischen Bedeutung, die den unendlich benachbarten Singularitäten beigelegt wurde, ergibt sich ohne weiteres, daß die Zusammensetzung eines vielfachen Punktes durchaus nicht abhängt von der Wahl der aufeinander folgenden quadratischen Transformationen, durch welche der Punkt aufgelöst wird, d. h. daß die Zahlen $s, s_i, s_{i,k}, \dots$ für den betrachteten vielfachen Punkt charakteristisch sind.

Die quadratischen Transformationen spielen deshalb mehr die Rolle eines analytischen Werkzeugs als diejenige eines wesentlichen Elements bei der Bildung des Begriffs der Zusammensetzung einer Singularität.

18. Cremonasche Transformation einer ebenen Kurve in eine andere, die nur gewöhnliche vielfache Funkte besitzt. Wir setzen voraus, daß die bis jetzt betrachtete Kurve $C$ von mehrfachen Bestandteilen frei sei.

Es fragt sich nun, ob das in der vorigen Nummer angegebene Verfahren zur Bestimmung der Zusammensetzung des vielfachen Punktes $O$ nach einer endlichen Anzahl von Operationen ein Ende findet in dem Sinne, daß man schließlich zu einer Umgebung von genügend hoher (aber endlicher) Ordnung gelangt, in der nur noch einfache Punkte von $C$ existieren, oder ob man das Verfahren unbeschränkt fortsetzen kann und immer wieder auf vielfache Punkte stoßt.

Da ein vielfacher Punkt mit mindestens zwei Tangenten sich in zwei oder mehr Punkte von geringerer Multiplizität auflösen läßt, so bleibt nur der Fall zweifelhaft, wo ein Punkt mit einer einzigen Tangente zu untersuchen ist. Aber wir wollen beweisen, daß man in jedem Falle nach einer endlichen Anzahl von Operationen stets zu einfachen Punkten gelangt. Zu diesem Zweck müssen wir die Berechnung der Multiplizität des Schnittes zweier ebener algebraischer Kurven in einem ihrer gemeinsamen Punkte vorausschicken.

Es seien $C$ und $D$ die beiden Kurven und $O$ ein ihnen gemeinsamer Punkt; er sei für $C$ $s$ -fach und für $D$ $t$ -fach. Aus der elementaren Theorie der ebenen algebraischen Kurven ist bekannt, daß der Punkt $O$ entweder genau $s t$ Schnittpunkte der beiden Kurven oder eine größere Anzahl absorbiert. Der erste Fall tritt ein, wenn diese Kurven in $O$ keine gemeinsamen Tangenten haben; besitzen sie jedoch gemeinsame Tangenten in $O$ , so haben wir den zweiten Fall.^[2]

Wir bezeichnen mit $J$ die unbekannte Multiplizität des Schnittes, so daß

j = s t + J 1

( $J_1 \geq 0$ )

ist, und wenden nun eine allgemeine quadratische Transformation an mit einem Fundamentalpunkt in $O$ . Es seien ferner $O_1', O_2', \dots$ die Punkte der Fundamentalgeraden $P' Q'$ , die den gemeinsamen Tangenten in $O$ entsprechen, und $J_1', J_2', \dots$ die Schnittpunktsmultiplizitäten der transformierten Kurven $C'$ und $D'$ in den Punkten $O_1', O_2', \dots$ .

Ersetzt man die Kurve $C$ durch eine hinlänglich benachbarte Kurve $\overline{C}$ , die zwar in $O$ einen $s$ -fachen Punkt hat, die aber die Kurve $D$ nicht berührt, so wird der Punkt $O$ genau $s t$ Schnittpunkte der beiden Kurven $\overline{C}$ und $D$ absorbieren, und außerdem sind $J 1$ gemeinsame Punkte von $\overline{C}$ und $D$ vorhanden, die nach $O$ hineinrücken, wenn sich $\overline{C}$ in die Lage $C$ zurückbewegt.

Die durch die Transformation aus $\overline{C}$ hervorgehende Kurve $\overline{C}'$ wird, da sie $C'$ äußerst nahe kommt, bei derselben Bedeutung des Ausdrucks „Multiplizität des Schnittes" die Kurve $D'$ in $J 1'$ Punkten schneiden, die dem Punkt $O 1'$ äußerst nahe liegen, außerdem in weiteren Punkten, die dem Punkt $O 2'$ äußerst nahe liegen usw., d. h. sie schneidet $D'$ in $J_1' + J_2' + \dots$ Punkten, die sehr nahe an der Fundamental geraden $P' Q'$ liegen, von den Fundamentalpunkten $P', Q'$ jedoch eine endliche Entfernung haben. Da diesen Schnittpunkten von $\overline{C}'$ mit $D'$ die $J 1$ Schnittpunkte von $\overline{C}$ und $D$ entsprechen, die in nächster Umgebung des Punktes $O$ liegen, so erhalten wir

$J_1=J_1'+ J_2' + \dots$ .

Unterwirft man jeden der Punkte $O i'$ , die den Kurven $C'$ und $D'$ gemeinsam sind, einer ähnlichen Untersuchung, so erhält man die Gleichung

$J_i'=s_it_i +\sum \limits_k J_{i,k}''$ ,

wo $s i$ bzw. $t i$ die Vielfachheit des Punktes $O i'$ für die Kurve $C'$ bzw. $D'$ bedeutet, während $J i, k''$ die Multiplizität des Schnittes der Kurven $C''$ und $D''$ im Punkt $O i, k''$ bezeichnet; unter $C''$ und $D''$ sind dabei diejenigen beiden Kurven verstanden, die aus $C'$ und $D'$ vermöge einer allgemeinen quadratischen Transformation mit dem Fundamentalpunkt $O i'$ hervorgehen.

Fährt man in dieser Weise fort, so erhält man schließlich die von Noether angegebene fundamentale Formel

$J = st + \sum \limits_is_it_i + \sum \limits_{i,k}s_{i,k}t_{i,k} + \dots$ ;

dabei ist die erste Summation über alle mehrfachen Punkte zu erstrecken, die den beiden Kurven $C$ und $D$ in der Umgebung erster Ordnung des Punktes $O$ gemeinsam sind; die zweite Summation umfaßt alle gemeinsamen mehrfachen Punkte, die in der Umgebung zweiter Ordnung liegen, usw.

Nachdem dies festgestellt ist, kehren wir zu der am Anfang dieser Nummer gestellten Frage zurück.

Wir betrachten einen allgemein gewählten Punkt $P$ der Ebene $π$ , in der die Kurve $C$ liegt, und die erste Polare $Γ$ des Punktes $P$ in bezug auf die Kurve $C$ . Wir wollen das Verhalten von $Γ$ in dem vielfachen Punkt $O$ von $C$ untersuchen. Zu diesem Zwecke nehmen wir einen anderen allgemeinen Punkt $Q$ in $π$ an und transformieren die Ebene $π$ in die Ebene $π'$ mittels einer quadratischen Transformation mit den Fundamentalpunkten $O, P, Q$ in $π$ und $O', P', Q'$ in $π'$ . Den durch $P$ gehenden Strahlen der Ebene $π$ entsprechen in $π'$ Strahlen, die durch $P'$ gehen, und die Punktreihen auf zwei derartigen homologen Geraden sind (da die Verwandtschaft birational ist) projektiv aufeinander bezogen. Daraus folgt, daß die bei der Transformation aus $Γ$ hervorgehende Kurve $Γ'$ die erste Polare von $P'$ ist in bezug auf die Kurve $C'$ , die der gegebenen Kurve $C$ entspricht. Für die Kurve $Γ$ besitzt der Punkt $O$ die Multiplizität $s - 1$ , und die Kurve $Γ'$ geht mindestens mit den Multiplizitäten $s_1 - 1, s_2 - 1, \dots$ durch die Punkte $O_1', O_2', \dots$ hindurch, die den in der Umgebung erster Ordnung des Punktes $O$ liegenden mehrfachen Punkten von $C$ entsprechen. Diese Tatsache läßt sich auch in folgender Weise ausdrücken: Die Kurve $Γ$ geht durch $O$ mit der Multiplizität $s - 1$ und durch die $s i$ -fachen Punkte $O i$ , die dem Punkt $O$ unendlich benachbart sind, mindestens mit den Multiplizitäten $s i - 1$ hindurch.

Wir vollziehen nun eine zweite allgemeine quadratische Transformation, die in $O i'$ einen Fundamentalpunkt hat und in $P'$ einen andern. $Γ'$ verwandelt sich dabei in eine Kurve $Γ''$ , welche die erste Polare der aus $C'$ hervorgehenden Kurve $C''$ ist in bezug auf einen Fandamentalpunkt $P''$ ; somit geht $Γ''$ mindestens mit den Multiplizitäten $s i, k - 1$ durch die Punkte $O i, k''$ hindurch, welche den in der Umgebung erster Ordnung von $O i'$ gelegenen mehrfachen Punkten der Kurve $C'$ entsprechen. Fährt man in dieser Weise fort, so erhält man den Satz:

Die erste Polare eines allgemeinen Punktes in bezug auf die Kurve $C$ geht durch den $s$ -fachen Punkt $O$ mit der Multiplizität $s - 1$ und durch die aufeinander folgenden vielfachen Punkte $O_i, O_{i,k}, \dots$ mindestens mit den Multiplizitäten $s_i - 1, s_{i,k} - 1, \dots$ hindurch.

Berücksichtigt man nun die Tatsache, daß die beiden Kurven $C$ und $Γ$ sicherlich keine gemeinsamen Bestandteile haben, da ja $C$ von mehrfachen Bestandteilen befreit wurde, so ergibt sich, daß der den Kurven $C$ und $Γ$ gemeinsame Punkt $O$ unter den $n (n - 1)$ Schnittpunkten dieser beiden Kurven mindestens

$s(s-1) + \sum s_i(s_i-1) + \sum s_{i,k}(s_{i,k} - 1) + \dots$

Punkte absorbiert.

Da nun die vorstehende Summe notwendig endlich sein muß, so muß man nach einer endlichen Anzahl von Summanden zu solchen Gliedern gelangen, die Null werden, d. h. es muß eine Umgebung von genügend hoher, aber endlicher Ordnung des vielfachen Punktes $O$ geben, in der sich nur noch einfache Punkte ( $s_{i,k,l, \dots} =1$ ) der von mehrfachen Bestandteilen freien Kurve $C$ befinden.

Daraus ergibt sich, daß es möglich ist, mit Hilfe einer endlichen Anzahl von quadratischen Transformationen, d. h. mit Hilfe einer Cremonaschen Transformation, die das Produkt von ihnen ist, einen ganz beliebigen vielfachen Punkt der von mehrfachen Bestandteilen freien Kurve $C$ in einfache Punkte aufzulösen.

Wenn man sich daran erinnert, daß durch keine der quadratischen Transformationen, die man ausführen muß, um eine gegebene Singularität aufzulösen, neue, nicht gewöhnliche Singularitäten in die transformierte Kurve eingeführt werden, sondern daß nur gewöhnliche mehrfache Punkte auftreten, so erkennt man, daß es möglich ist, mit einer endlichen Anzahl von quadratischen Transformationen sämtliche höheren Singularitäten eine um die andere aufzulösen, bis man schließlich zu einer Kurve gelangt, die nur noch vielfache Punkte mit getrennten Tangenten besitzt.

Man erhält also den grundlegenden Satz von Noether:

Jede ebene Kurve mit beliebigen Singularitäten läßt sich mit Hilfe einer passenden Cremonaschen Transformation auf eine andere ebene Kurve zurückführen, die nur gewöhnliche mehrfache Punkte (mit getrennten Tangenten) besitzt.

↑ Siehe Math. Ann. 9, 166 (1876) und besondere Math. Ann. 23, 311 (1884).
↑ Vgl. z. B. die auf S. 44 angeführte Abhandlung von Segre.

[0] Siehe Math. Ann. 9, 166 (1876) und besondere Math. Ann. 23, 311 (1884).

[1] Vgl. z. B. die auf S. 44 angeführte Abhandlung von Segre.

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